Изменение системы счисления

Особенности калькулятора дроби в десятичную дробь

Калькулятор дробей в десятичные числа, предлагаемый cmtoinchesconvert.com, представляет собой бесплатную онлайн-утилиту, которая позволяет пользователям конвертировать калькулятор дробей в десятичные числа без каких-либо ручных усилий.Ниже перечислены некоторые из ключевых особенностей этого калькулятора дробей для десятичных дробей:

100% бесплатно

Вам не нужно проходить какой-либо процесс регистрации, чтобы использовать этот калькулятор преобразования дробей в десятичные числа.Вы можете использовать эту утилиту бесплатно и выполнять неограниченное количество преобразований калькулятора дробей в десятичные числа без каких-либо ограничений.

Легко доступный

Вам не нужно устанавливать какое-либо программное обеспечение на свое устройство, чтобы получить доступ к калькулятору дробей в десятичную дробь.Вы можете получить доступ и использовать этот онлайн-сервис с помощью любого веб-браузера со стабильным подключением к Интернету.

Удобный интерфейс

Калькулятор дроби в десятичную систему представляет собой простой в использовании интерфейс.Используйте это, чтобы пользователи могли конвертировать фракцию в десятичный онлайн-калькулятор за считанные секунды.Вам не нужно приобретать какие-либо специальные навыки или выполнять сложные процедуры, чтобы использовать этот калькулятор дроби в десятичную дробь.

Быстрая конвертация

Калькулятор десятичных дробей предлагает пользователям самое быстрое преобразование.После того, как пользователь введет значения Калькулятора дробей в десятичные числа в поле ввода и нажмет кнопку «Преобразовать», утилита начнет процесс преобразования и немедленно вернет результаты.

Точные результаты

Результаты, полученные с помощью этого калькулятора дробей и десятичных дробей, точны на 100%.Передовые алгоритмы, используемые этой утилитой, обеспечивают пользователям безошибочные результаты.Если вы уверены в подлинности результатов, предоставляемых этой утилитой, вы можете использовать любой метод для их проверки.

Совместимость

Калькулятор дробей в десятичные дроби совместим со всеми типами устройств.Независимо от того, используете ли вы смартфон, планшет, настольный компьютер, ноутбук или Mac, вы можете легко использовать этот калькулятор дроби в десятичную дробь.

Перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную

Способ 1:

Разбиваем число на группы по 4 цифры справа налево. Последнюю (левую) группу дополним при необходимости ведущими нулями. Внутри каждой полученной группы произведем умножение каждой цифры на 2n, где n — номер разряда, и сложим результаты.

11010₂ = (0001) (1010) = (0*23 + 0*22 + 0*21 + 1*2) (1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*2) = (0+0+0+1) (8+0+2+0) = (1) (10) = 1A₁₆

Способ 2:

Также как и в первом способе разбиваем число на группы по 4 цифры. Заменим полученные группы (тетрады) на соответствующие цифры шестнадцатеричной системы, используя таблицу тетрад:

Тетрада	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
Цифра	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F

101111100₂ = (0001) (0111) (1100) = 17C₁₆

Перевод дробей

В предыдущем уроке вы уже научились переводить обыкновенные дроби в десятичные. Это были дроби со знаменателями $10,\space100,\space1000$ и так далее:

$$\dfrac{3}{10}=0,3$$

$$2\dfrac{15}{100}=2,15$$

Но можно ли перевести в десятичную форму дроби с другими знаменателями, например $\dfrac{2}{20}$, $\dfrac{1}{5}$, $\dfrac{3}{8}$, $\dfrac{7}{15}$?

Очевидно, что сначала нужно привести эти дроби к знаменателям $10,\space100,\space1000,\space…$. Для этого дробь можно либо сократить, либо умножить числитель и знаменатель на одно и то же число.

Например, легко перевести в десятичную форму дроби $\dfrac{2}{20}$ и $\dfrac{1}{5}$:

$$\dfrac{2}{20}=\dfrac{\overset{1}{\cancel2}}{\underset{10}{\cancel{20}}}=\dfrac{1}{10}=0,1$$

$$\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{5}^{(2}=\dfrac{1\cdot2}{5\cdot2}=\dfrac{2}{10}=0,2$$

Теперь рассмотрим дробь $\dfrac{3}{8}$. Её уже не сократить, значит, нужен дополнительный множитель, как в случае с $\dfrac{1}{5}$.

Разложим на множители числа $10,\space100,\space1000$:

$$10=2\cdot5$$

$$100=10\cdot10=2\cdot5\cdot2\cdot5$$

$$1000=10\cdot10\cdot10=2\cdot5\cdot2\cdot5\cdot2\cdot5\cdot2\cdot5$$

Видим, что каждое из них содержит только множители $2$ и $5$, причем в равных количествах. Никаких других множителей нет.

Теперь разложим на простые множители знаменатель дроби $\dfrac{3}{8}$:

$$8=2\cdot4=2\cdot2\cdot2$$

Имеем три двойки. Значит, чтобы получить число ряда $10,\space100,\space1000,\space…$, нужно добавить три пятерки. Умножаем числитель и знаменатель дроби $\dfrac{3}{8}$ на дополнительный множитель $5\cdot5\cdot5$:

$$\dfrac{3}{8}=\dfrac{3\cdot5\cdot5\cdot5}{8\cdot5\cdot5\cdot5}=\dfrac{375}{1000}=0,375$$

Получили десятичную дробь. Сформулируем правило:

Теперь рассмотрим дробь $\dfrac{7}{15}$. При разложении знаменателя на множители получаем:

$$15=3\cdot5$$

Кроме пятерки здесь присутствует «мешающая» тройка. От неё никак не избавиться, на какие числа бы мы её не умножали.

Произведение только из двоек и пятерок здесь не получится, значит, из знаменателя $15$ нельзя получить число ряда $10,\space100,\space1000,\space…$. Значит, дробь $\dfrac{7}{15}$ нельзя перевести в десятичную.

Важно

Оба правила работают только для несократимых дробей. Например, дробь $\dfrac{21}{60}$ содержит в знаменателе множитель $3$, но после сокращения он исчезнет, и можно будет представить дробь в виде десятичной:

$\dfrac{21}{60}=\dfrac{\overset{7}{\cancel{21}}}{\underset{20}{\cancel{60}}}=\dfrac{7}{20}=\dfrac{7\cdot5}{20\cdot5}=\dfrac{35}{100}=0,35$

{"questions":,"explanations":,"answer":}}}]}

Возведение числа в дробную степень

Прежде чем приступить к вычислению, следует рассмотреть базовое определение степени с дробным показателем. В виде формулы оно может быть записано следующим образом:

\[a^{m / n}=\sqrt{a^{m}}, \text { где }\]

a – положительное число;

m – целое число;

n – натуральное число.

Из указанного определения следует, что операция нахождения алгебраического корня любой степени также может быть представлена в форме возведения в дробную степень, когда числитель показателя равен единице, а знаменатель – основанию корня.

\{a}=a^{1 / n}\]

При этом не следует воспринимать данное свойство как способ преобразования иррационального числа в рациональное. Изменяется только форма записи. Например, если число √2 является иррациональным, то при записи его в форме \[2^{1 / 2}\] оно также останется иррациональным.

При нахождении значения степени с дробным показателем следует последовательно выполнить два математических действия: возведение основания в степень с целым показателем m и извлечение корня n-ной степени. При этом согласно свойству корней, указанные действия можно выполнить и в обратной последовательности, то есть можно сначала извлечь из основания корень n-й степени, а затем возвести полученный результат в степень m.

\{a^{m}}=(\sqrt{a})^{m}\]

Рассмотрим оба способа вычисления степеней с дробным показателем на конкретном примере.

Пример 9

Найдем значение степенного выражения \[128^{5 / 7}\].

Способ 1. Возведение в степень подкоренного выражения с последующим извлечением корня

\[128^{5 / 7}=\sqrt{128^{5}}=\sqrt{34359738368}=32\]

В данном случае из-за большого значения числа под корнем найти значение выражения, не прибегая к помощи калькулятора, невозможно.

Способ 2. Извлечение корня из основания с последующим возведением в степень.

\[128^{5 / 7}=(\sqrt{128})^{5}=2^{5}=32\]

Указанный способ нахождения значения степени существенно легче. При этом результат вычислений не отличается, то есть можно выбирать тот способ, который будет удобнее в конкретном случае.

Если показатель степени представлен в форме десятичной дроби, то удобнее будет записать его в виде обычной.

Пример 10

Вычислим значение степени \:

\[243^{0,4}=243^{4 / 10}=243^{2 / 5}=(\sqrt{243})^{2}=3^{2}=9\]

В случае, когда показатель представляет собой смешанное число, для удобства вычислений он может быть записан в виде неправильной дроби.

Пример 11

Вычислим значение выражения:

\[\left(12 \frac{1}{4}\right)^{1 \frac{1}{2}}=\left(\frac{49}{4}\right)^{3 / 2}=\left(\sqrt{\frac{49}{4}}\right)^{3}=\left(\frac{7}{2}\right)^{3}=\frac{343}{8}=42 \frac{7}{8}\]

Следует обратить внимание на математическую операцию возведения в отрицательную дробную степень. В этом случае вычисления производятся в три этапа: нахождение числа, обратного исходному, извлечение корня, степень которого соответствует значению знаменателя показателя, и возведение в степень, соответствующую числителю дробного показателя

Как и в случае с положительным дробным показателем, указанные действия могут выполняться в любой последовательности.

Пример 12

Найдем значение выражения \[49^{-1 / 2}\].

Выполним преобразование числа в обратное ему:

\[49^{-1 / 2}=\frac{1}{49^{1 / 2}}\]

Найдем значение степени в знаменателе полученной дроби:

\[\frac{1}{49^{1 / 2}}=\frac{1}{\sqrt{49}}=\frac{1}{7}\]

Также необходимо рассмотреть случай, когда основанием степени является ноль, а показателем – дробное число. Как и в случае с целыми показателями, подобные выражения имеют смысл лишь в том случае, когда показатель больше нуля. В противном случае выражение будет не определено.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Нужна помощь

Правила перевода чисел из любой системы счисления в двоичную

Пример 9

Число $531_8$ перевести в двоичную систему счисления.
Решение:
$531_8 = 101011001_2$

Для перевода числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную требуется каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой, представленной в таблице 4.

Пример 10

Число $EE8_{16}$ перевести в двоичную систему счисления.

Решение:

$EE8_{16} = 111011101000_2$

При переводе числа из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно, необходимо выполнить промежуточный перевод чисел в двоичную систему.

Пример 11

Число $FEA_{16}$ перевести в восьмеричную систему счисления.

Решение:

$FEA_{16} = 111111101010_2$

$111 111 101 010_2 = 7752_8$

Пример 12

Число $6635_8$ перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение:

$6635_8 = 110110011101_2$

$1101 1001 11012 = D9D_{16}$

Шаги по решению проблемы

Если вы столкнулись с десятичной дробью в степени и не знаете, как с ней работать, воспользуйтесь следующими шагами:

1. Приведите десятичную дробь к обыкновенной.

Для этого нужно определить, какое количество нулей после точки в степени, и переместить все цифры этой десятичной дроби в числитель обыкновенной дроби, а затем упростить ее, если это возможно.

2. Упростите обыкновенную дробь, если это возможно.

Проверьте, можно ли сократить числитель и знаменатель обыкновенной дроби на общий делитель. Если это возможно, проделайте эти действия.

3. Переведите обыкновенную дробь обратно в десятичную форму.

Разделите числитель на знаменатель и получите десятичное представление полученной дроби. В результате вы получите десятичную дробь без степени.

Примечание: Если полученная в результате десятичная дробь не удовлетворяет условию задачи, возможно, вы выполнили некоторые шаги неправильно или упустили какие-то данные. Проверьте результаты и убедитесь, что все шаги выполнены корректно.

Следуя этим шагам, вы сможете решить проблему с десятичной дробью в степени и получить правильный ответ.

Возведение в целую степень

Возведение в целую степень удобно рассматривать для трех случаев: для целых положительных показателей, для нулевого показателя, и для целых отрицательных показателей степени.

Так как множество целых положительных чисел совпадает со множеством натуральных чисел, то возведение в целую положительную степень есть возведение в натуральную степень. А этот процесс мы рассмотрели в предыдущем пункте.

Переходим к возведению в нулевую степень. В статье мы выяснили, что нулевая степень числа a определяется для любого отличного от нуля действительного числа a, при этом a=1.

Таким образом, возведение любого отличного от нуля действительного числа в нулевую степень дает единицу. Например, 5=1, (−2,56)=1 и , а 0 не определяется.

Чтобы закончить с возведением в целую степень, осталось разобраться со случаями целых отрицательных показателей. Мы знаем, что степень числа a с целым отрицательным показателем −z определяется как дробь вида . В знаменателе этой дроби находится степень с целым положительным показателем, значение которой мы умеем находить. Осталось лишь рассмотреть несколько примеров возведения в целую отрицательную степень.

Пример.

Вычислите значение степени числа 3 с целым отрицательным показателем −2.

Решение.

По определению степени с целым отрицательным показателем имеем . Значение степени в знаменателе легко находится: 23=2·2·2=8. Таким образом, .

Ответ:

.

Пример.

Найдите значение степени (1,43)−2.

Решение.

. Значение квадрата в знаменателе равно произведению 1,43·1,43. Найдем его значение, выполнив :

Итак, . Запишем полученное число в виде обыкновенной дроби, умножив числитель и знаменатель полученной дроби на 10 000 (при необходимости смотрите преобразование дробей), имеем .

На этом возведение в степень завершено.

Ответ:

.

В заключение этого пункта стоит отдельно остановиться на возведении в степень −1. Минус первая степень числа a равна числу, обратному числу a. Действительно, . Например, 3−1=1/3, и .

Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления нужно переводить отдельно целую часть числа и дробную часть числа.

Целую часть числа переводится из десятичной СС в другую систему счисления — последовательным делением целой части числа на основание системы счисления (для двоичной СС — на 2, для 8-ичной СС — на 8, для 16-ичной — на 16 и т.д.) до получения целого остатка, меньше, чем основание СС.

Пример 4. Переведем число 159 из десятичной СС в двоичную СС:

159	2
158	79	2
1	78	39	2
	1	38	19	2
		1	18	9	2
			1	8	4	2
				1	4	2	2
					2	1

Рис. 1

Как видно из Рис. 1, число 159 при делении на 2 дает частное 79 и остаток 1. Далее число 79 при делении на 2 дает частное 39 и остаток 1 и т.д. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в двоичной СС: 10011111. Следовательно можно записать:

Пример 5. Переведем число 615 из десятичной СС в восьмеричную СС.

615	8
608	76	8
7	72	9	8
	4	8	1
		1

Рис. 2

При приведении числа из десятичной СС в восьмеричную СС, нужно последовательно делить число на 8, пока не получится целый остаток меньшее, чем 8. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в восьмеричной СС: 1147(см. Рис. 2). Следовательно можно записать:

Пример 6. Переведем число 19673 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.

19673	16
19664	1229	16
9	1216	76	16
	13	64	4
		12

Рис. 3

Как видно из рисунка Рис.3, последовательным делением числа 19673 на 16 получили остатки 4, 12, 13, 9. В шестнадцатеричной системе счисления числе 12 соответствует С, числе 13 — D. Следовательно наше шестнадцатеричное число — это 4CD9.

Далее рассмотрим перевод правильных десятичных дробей в двоичную СС, в восьмеричную СС, в шестнадцатеричную СС и т.д.

Для перевода правильных десятичных дробей (вещественное число с нулевой целой частью) в систему счисления с основанием s необходимо данное число последовательно умножить на s до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль, или же не получим требуемое количество разрядов. Если при умножении получится число с целой частью, отличное от нуля, то эту целую часть не учитывать (они последовательно зачисливаются в результат).

Рассмотрим вышеизложенное на примерах.

Пример 7. Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в двоичную СС.

		0.214
	x	2
	0.428
	x	2
	0.856
	x	2
1		0.712
	x	2
1		0.424
	x	2
	0.848
	x	2
1		0.696
	x	2
1		0.392

Рис. 4

Как видно из Рис.4, число 0.214 последовательно умножается на 2. Если в результате умножения получится число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть записывается отдельно (слева от числа), а число записывается с нулевой целой частью. Если же при умножении получиться число с нулевой целой частью, то слева от нее записывается нуль. Процесс умножения продолжается до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль или же не получим требуемое количество разрядов. Записывая жирные числа (Рис.4) сверху вниз получим требуемое число в двоичной системе счисления: 0.0011011.

Следовательно можно записать:

Пример 8. Переведем число 0.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС.

		0.125
	x	2
	0.25
	x	2
	0.5
	x	2
1		0.0

Рис. 5

Для приведения числа 0.125 из десятичной СС в двоичную, данное число последовательно умножается на 2. В третьем этапе получилось 0. Следовательно, получился следующий результат:

Пример 9. Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.

		0.214
	x	16
3		0.424
	x	16
6		0.784
	x	16
12		0.544
	x	16
8		0.704
	x	16
11		0.264
	x	16
4		0.224

Рис. 6

Следуя примерам 4 и 5 получаем числа 3, 6, 12, 8, 11, 4. Но в шестнадцатеричной СС числам 12 и 11 соответствуют числа C и B. Следовательно имеем:

Пример 10. Переведем число 0.512 из десятичной системы счисления в восьмеричную СС.

		0.512
	x	8
4		0.096
	x	8
	0.768
	x	8
6		0.144
	x	8
1		0.152
	x	8
1		0.216
	x	8
1		0.728

Рис. 7

Получили:

Пример 11. Переведем число 159.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 4) и дробную часть числа (Пример 8). Далее объединяя эти результаты получим:

Пример 12. Переведем число 19673.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 6) и дробную часть числа (Пример 9). Далее объединяя эти результаты получим:

Как возвести в отрицательную степень дробь

Запомните!

Чтобы возвести дробь в отрицательную степень нужно:

• «перевернуть» дробь;
• заменить отрицательную степень наположительную;
• возвести дробь в положительную степень.

Пример. Требуется возвести в отрицательную степень дробь.

Перевернем дробь «

»
и заменим отрицательную степень «−3» на положительную «3».

Возведем дробь в положительную степень по правилу возведения дроби в положительную степень.
Т.е. возведем и числитель «3», и знаменатель «10» в третью степень.

()−3 = ()3 =

=

Для более грамотного ответа запишем полученный результат в виде десятичной дроби.

()−3 = ()3 =

= = 0,027

Как возвести отрицательное число в отрицательную степень

Как и при возведении отрицательного числа в положительную степень, в первую
очередь необходимо определить конечный знак результата возведения в степень. Вспомним основные правила еще раз.

Запомните!

Отрицательное число, возведённое вчётную степень, — числоположительное.

Отрицательное число, возведённое внечётную степень, — числоотрицательное.

Пример.

(−5) −2 =

Перевернем число «−5» и заменим отрицательную степень
«−2» на положительную
«2».

Так как степень «2» — четная, значит, результат возведения в степень будетположительный. Поэтому
убираем знак минуса при раскрытии скобок.

Далее откроем скобки
и возведем во вторую степень и числитель «1», и знаменатель «5».

Как возвести отрицательную дробь в отрицательную степень

Конечный знак результата возведения в степень отрицательной дроби определяется по тем же правилам, что и для целого отрицательного числа.

Запомните!

Отрицательная дробь, возведённая вчётную степень, — дробьположительная.

Отрицательная дробь, возведённая внечётную степень, — дробьотрицательная.

Разберемся на примере. Задание: возвести отрицательную дробь
«(− )»
в «−3» степень.

По правилу возведения дроби в отрицательную степень перевернем дробь и заменим отрицательную степень «−3» на положительную
«3».

Теперь определим конечный знак результата возведения в «3» степень.

Степень «3» — нечетная, значит, по правилу возведения отрицательного числа в степень дробь
останется отрицательной.

Нам остается только раскрыть скобки и возвести в степень и числитель «3», и знаменатель
«2» в третью степень.

Для окончательного ответа выделим целую часть из дроби.

(−

) −3 = (−

) 3 = −

= −

= − 3

Рассмотрим другой пример возведения отрицательной дроби в отрицательную степень.

Правило возведения отрицательного числа в степень гласит: если степень четная, значит, результат возведения
будет положительным.

Перевод десятичных дробей в обыкновенные дроби

Теперь пришло время рассмотреть обратный процесс перевода десятичной дроби в обыкновенную. Сформулируем правило перевода, которое включает три этапа. Как перевести десятичную дробь в обыкновенную?

Правило перевода десятичных дробей в обыкновенные дроби

1. В числитель записываем число из исходной десятичной дроби, отбросив запятую и все нули слева, если они есть.
2. В знаменатель записываем единицу и за ней столько нулей, сколько цифр есть в исходной десятичной дроби после запятой.
3. При необходимости сокращаем полученную обыкновенную дробь. 

Рассмотрим применение данного правила на примерах.

Пример 8. Перевод десятичных дробей в обыкновенные

Представим число 3,025 в виде обыкновенной дроби.

1. В числитель записываем саму десятичную дробь, отбросив запятую: 3025.
2. В знаменателе пишем единицу, а после нее три нуля — именно столько цифр содержится в исходной дроби после запятой: 30251000.
3. Полученную дробь 30251000 можно сократить на 25, в результате чего мы получим: 30251000=12140.

Пример 9. Перевод десятичных дробей в обыкновенные

Переведем дробь ,0017 из десятичных в обыкновенные.

1. В числителе запишем дробь ,0017, отбросив запятую и нули слева. Получится 17.
2. В знаменатель записываем единицу, а после нее пишем четыре нуля: 1710000. Данная дробь несократима.

Если в десятичной дроби есть целая часть, то такую дробь можно сразу перевести в смешанное число. Как это сделать?

Сформулируем еще одно правило.

Правило перевода десятичных дробей в смешанные числа.

1. Число, стоящее в дроби до запятой, записываем как целая часть смешанного числа.
2. В числителе  записываем число, стоящее в дроби после запятой, отбросив нули слева, если они есть.
3. В знаменателе дробной части дописываем единицу и столько нулей, сколько цифр есть в дробной части после запятой.

Обратимся к примеру

Пример 10. Перевод десятичной дроби в смешанное число

Представим дробь 155,06005 в виде смешанного числа.

1. Записываем число 155, как целую часть.
2. В числителе записываем цифры после запятой, отбросив нуль. 
3. В знаменателе записываем единицу и пять нулей

Поучаем смешанное число: 1556005100000

Дробную часть можно сократить на 5. Сокращаем, и получаем финальный результат:

155,06005=155120120000

Перевод бесконечных периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби

Разберем на примерах, как осуществлять перевод периодических десятичных дробей в обыкновенные. Прежде чем начать, уточним: любую периодическую десятичную дробь можно перевести в обыкновенную.

Самый простой случай — период дроби равен нулю. Периодическая дробь с нулевым периодом заменяется на конечную десятичную дробь, а процесс обращения такой дроби сводится к обращению конечной десятичной дроби.

Пример 11. Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную

Обратим периодическую дробь 3,75().

Отбросив нули справа, получим конечную десятичную дробь 3,75.

Обращая данную дробь в обыкновенную по алгоритму, разобранному в предыдущих пунктах, получаем:

3,75()=3,75=375100=154.

Как быть, если период дроби отличен от нуля? Периодическую часть следует рассматривать как сумму членов геометрический прогрессии, которая убывает. Поясним это на примере:

,(74)=,74+,0074+,000074+,00000074+..

Для суммы членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии существует формула. Если первый член прогрессии равен b, а знаменатель q таков, что <q<1, то сумма равна b1-q.

Рассмотрим несколько примеров с применением данной формулы.

Пример 12. Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную

Пусть у нас есть периодическая дробь ,(8) и нам нужно перевести ее в обыкновенную.

Запишем:

,(8)=,8+,08+,008+..

Здесь мы имеем бесконечную убывающую геометрическую прогрессию с первым членом ,8 и знаменателем ,1.

Применим формулу:

,(8)=,8+,08+,008+..=,81-,1=,8,9=89

Это и есть искомая обыкновенная дробь.

Для закрепления материала рассмотрим еще один пример.

Пример 13. Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную

Обратим дробь ,43(18).

Сначала записываем дробь в виде бесконечной суммы:

,43(18)=,43+(,0018+,000018+,00000018..)

Рассмотрим слагаемые в скобках. Эту геометрическую прогрессию можно представить в следующем виде:

,0018+,000018+,00000018..=,00181-,01=,0018,99=189900.

Полученное прибавляем к конечной дроби ,43=43100 и получаем результат:

,43(18)=43100+189900

После сложения данных дробей и сокращения получим окончательный ответ:

,43(18)=1944

В завершение данной статьи скажем, что непериодические бесконечный десятичные дроби нельзя перевести в вид обыкновенных дробей.

Всё ещё сложно?
Наши эксперты помогут разобраться

Все услуги

Решение задач

от 1 дня / от 150 р.

Курсовая работа

от 5 дней / от 1800 р.

Реферат

от 1 дня / от 700 р.

Как перевести обычную дробь в десятичную

Прежде чем мы научимся переходить с обычного на десятичное представление, давайте вспомним различия между двумя типами дробей и сформулируем важное правило. Десятичные дроби — это конструкции вида 0,5; 2,16 и -7,42

А вот так выглядят те же числа в виде правильных дробей:

Десятичные дроби — это конструкции вида 0,5; 2,16 и -7,42. А вот так выглядят те же числа в виде правильных дробей:

Обыкновенная дробь может быть преобразована в конечную десятичную дробь только в том случае, если знаменатель можно разложить на простые множители 2 и 5 любое количество раз. Например:

Дробь 11/40 можно преобразовать в конечную десятичную, потому что знаменатель делится на 2 и 5.

Дробь 17/60 нельзя перевести в конечную десятичную дробь, потому что в знаменателе, кроме множителей 2 и 5, стоит 3.

А теперь перейдем к самому главному вопросу: рассмотрим несколько алгоритмов преобразования обыкновенной дроби в десятичную.

Алгоритм преобразования

Акт преобразования десятичной дроби в простую относится к элементарным операциям. Есть несколько способов перевода. Какой из них выполнить, зависит от личных предпочтений лица, принимающего решение. Например, выражение 3.2 также можно записать как 16/5.

Другими словами, математики договорились, что, когда речь идет о простых числах, нули опускаются, а вместо них ставится запятая, отделяющая целую часть. Это было сделано для облегчения восприятия записи и для удобства подсчета.

Правило для наиболее часто используемого метода перевода заключается в следующем. Если в знаменателе стоит число, кратное десяти, нужно просто переписать числитель, затем подсчитать количество цифр, совпадающих с числом в знаменателе, и поставить после них запятую. Подсчет количества разделенных цифр необходимо начинать с правой стороны. Также, если количество нулей превышает количество цифр в делителе, то пропущенное их количество пишется перед числом.

Выполняемые операции, кроме получения периодической дроби, можно производить и в обратном направлении. Остаток от деления всегда должен быть меньше делителя. Поэтому, если в результате действия получается нуль, деление останавливается, а если в остатке — бесконечное периодическое отношение.

Чаще всего для преобразования простой дроби в десятичную нужно выполнить три шага:

1. Сократите выражение, которое необходимо преобразовать.
2. Разделите числитель на знаменатель практичным способом. В зависимости от размера значений в числителе и знаменателе это можно сделать в столбце или в баках. Если при делении получается ненулевой остаток, поставьте запятую и продолжайте искать частное.
3. Запишите найденный результат через запятую.

Способ 1. Превращаем знаменатель в 10, 100 или 1000

Чтобы преобразовать дробь в десятичную, необходимо умножить числитель и знаменатель на одно и то же число так, чтобы знаменатель стал равен 10, 100, 1000 и т д. Но прежде чем продолжить расчеты, необходимо проверить, можно ли преобразовать это дробь вообще в десятичную.

Возьмем, к примеру, дробь 3/20. Его можно сократить до последнего десятичного знака, потому что знаменатель делится на 2 и 5.

Мы можем получить 100 внизу: просто умножьте 20 на 5. Не забывайте и о верхней части: мы получаем 15.

Теперь напишем счетчик отдельно. Отсчитываем справа столько знаков, сколько нулей в знаменателе, и ставим запятую. В нашем примере знаменатель равен 100 (в нем два нуля), поэтому после подсчета двух цифр ставим запятую и получаем 0,15. Трансформация готова.

Другой пример:

Способ 2. Делим числитель на знаменатель

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в десятичную, достаточно разделить верхнюю часть на меньшую. Проще всего это сделать, конечно, с помощью калькулятора — но его не разрешают использовать в тестах, поэтому мы учимся по-другому.

Возьмем, к примеру, дробь 78/100. Давайте удостоверимся, что дробь можно сократить до последнего десятичного знака.

Делим числитель на знаменатель столбиком — преобразование готово:

Если при делении на угол выяснилось, что процесс не заканчивается и повторяющиеся числа выстраиваются в ряд после запятой, то эту дробь нельзя преобразовать в конечную десятичную. Ответ можно записать в виде периодической дроби — для этого нужно в скобках записать повторяющееся число, вот так: 1/3 = 0,3333.. = 0, (3).

Для простоты мы составили таблицу дробей со знаменателями, которые чаще всего встречаются в математических задачах. Загрузите его на свой гаджет или распечатайте и сохраните в учебнике как закладку: