Урок 1: системы счисления

Введение

На заре зарождения человеческого общества понятия счёта практически не существовало. Люди могли отличить два предмета от трёх, но всё что было больше этого скрывалось за термином «много». Как правило, при подсчёте чего-либо количество предметов соотносилось с количеством пальцев на конечностях.

Постепенный прогресс нашего общества сделал счёт насущной потребностью. Сначала изображение натуральных чисел сводилось к написанию чёрточек, но впоследствии для этих целей начали применяться буквенные обозначения и символы. Жители древнего Новгорода применяли славянский алфавит, для написания чисел над славянскими буквами ставили знак ~ (титло).

Получи помощь с рефератом от ИИ-шки

ИИ ответит за 2 минуты

В Древнем Риме зародилась методика, которая известна и сегодня как римская система нумерации. В ней числовые значения представляются буквами латинского алфавита. Сегодня её используют для нумерации глав в книгах и тому подобного. Вот список римских цифр: I = 1; V = 5; X = 10; L = 50; С = 100; D = 500; M = 1000. В римской системе нумерации прослеживаются отголоски пятеричной системы счисления. Арифметические операции над большими числами в римской системе достаточно трудоёмки, но она применялась в Италии вплоть до тринадцатого века, а в некоторых европейских государствах аж до шестнадцатого века.

Славяне для обозначения чисел применяли весь алфавит, но с незначительными отклонениями от порядка следования букв в алфавите. Разные буквы обозначали разное число единиц, десятков и сотен. Такая система имела две существенные проблемы, которые и вызвали отказ от неё. Это слишком большое количество разных знаков, в частности для отображения большого числа, и, что ещё хуже, очень было неудобно выполнять арифметические операции.

Наиболее совершенной и доступной стала общеизвестная сегодня десятичная система счисления, которая зародилась в Индии, усовершенствована арабами и уже потом появилась в европейских странах. В качестве основания десятичной системы выбрано число десять. Конечно, существуют системы счисления, имеющие различные основания. Жители древнего Вавилона применяли шестидесятеричную систему счисления. Её отголоски видны и в наше время, поскольку мы и сегодня считаем, что в часе 60 минут, а в минуте 60 секунд. В древние времена люди так же пользовались двенадцатеричной системой. Сегодня от неё осталась широко известная «дюжина», то есть число двенадцать. Ещё существует обычай подсчитывать количество некоторых предметов не числом десятков, а числом дюжин, к примеру, это столовые приборы.

Распространенные системы счисления в информатике

Практически все системы, которые используют в компьютерной технике, — позиционные и однородные. Как правило, у них четное основание, которое соответствует какой-либо из степеней двойки. Это связано с особенностями хранения данных в памяти компьютера. Рассмотрим три наиболее популярных в информатике системы счисления: двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную.

Двоичная. Это система с основанием 2 и алфавитом, который состоит всего из двух цифр — 0 и 1. Необходимость использовать двоичную систему появилась из-за того, как компьютеры представляют информацию: в виде бит. Бит может принимать только значение «0» или «1» — «тут нет единицы информации» или «тут есть единица информации».

0 означает ноль, отсутствие информации.
1 означает единицу, например записанную в какую-то ячейку памяти.
Цифры 2 в системе нет. Если число достигает значения 2, оно переходит в другой разряд и записывается как 10 — одна двойка и ноль единиц. Соответственно, число 3 будет записываться как 11 — одна двойка и одна единица.
Дальше разряды увеличиваются по тому же принципу. Число 4 — это 100, то есть две двойки и 0 единиц. Число 8 — 1000, и так далее. Каждая новая степень двойки — новый разряд.

Напрямую работать с двоичным, или бинарным кодом разработчикам приходится редко

Но для общего понимания важно знать, как устроена двоичная система. Именно в таком виде на самом глубоком уровне хранятся данные в компьютере — как последовательности из нулей и единиц

Восьмеричная. Эту систему используют чуть реже, чем двоичную и шестнадцатеричную. Чаще всего ее упоминание можно встретить при работе с низкоуровневыми языками программирования, которые близки к «железу» и способны обрабатывать данные напрямую. Компьютеры объединяют части бинарного кода в блоки по 8 двоичных цифр — байты. Отсюда появилась и необходимость работать с восьмеричной системой.

Основа системы счисления — 8. Это значит, что от 0 до 7 цифры идут как обычно, а когда число доходит до 8, начинается другой разряд и число записывается как 10.
Соответственно, число 9 будет записываться как 11, а число 10 — как 12.
Число 16 в восьмеричной системе записывается как 20, потому что шестнадцать — это два раза по восемь. И так далее.
Число 64 в восьмеричной системе будет выглядеть как 100, потому что это восемь раз по восемь.

Шестнадцатеричная. С этой системой счисления сталкиваются не только разработчики, но и, например, дизайнеры — в ней кодируются цвета RGB. Еще в этой системе записываются коды символов во многих кодировках. Основание шестнадцатеричной системы — число 16. Оно больше десяти, поэтому в алфавите появляются дополнительные цифры, которые обозначают буквами.

От 0 до 9 цифры идут как обычно. Но на десяти разряд еще не меняется, поэтому для обозначения десятки нужна новая цифра. В качестве этой «цифры» используют латинскую букву A.
Соответственно, «цифра» 11 — это B, 12 — C, и так далее до F, которая обозначает «цифру» 15.
Когда счет доходит до шестнадцати, разряд меняется. Следующее число после F в шестнадцатеричной системе — 10.
Числа в шестнадцатеричной системе выглядят меньше, чем в десятичной. Например, 100 в шестнадцатеричной системе — это 16 раз по 16, то есть 16 в квадрате. В десятичной системе это число 256.
Цифры в виде букв могут встречаться в начале, конце или середине числа. Например, 1A — это 26. Единица обозначает один раз по шестнадцать, а A — «цифру» десять.

Что такое позиционная система

Определение

Позиционная система счисления — система счисления, в которой значение каждого числового знака в записи числа зависит от его позиции.

В позиционной системе количественный эквивалент каждой цифры зависит от места ее записи в коде числа. Любое целое число x в d-ичной позиционной системе счисления является конечной линейной комбинацией степеней числа d:

\(х\;=\;\sum_{k=0}^{n-1}\;a_kd^k\)

\(a_k\) в этом выражении — целые числа, удовлетворяющие неравенству \(0\;\leq\;a_k\;\leq\;(d\;-\;1)\).

Примечание

k — показатель разряда.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут

В общем случае представить произвольное число x в системе счисления с заданным основанием d означает расписать его по формуле:

\(x\;=\;a_x\times d^x\;+\;a_{x-1}\times d^{x-1}\;+\;…\;+\;a_2\times d^{2\;}+\;a_1\times d\;+\;a_0\)

Таким образом, в любой позиционной системе число может быть представлено в виде многочлена.

Пример

\(2872\;=\;2000\;+\;800\;+\;70\;+\;2\;=\;2\;\times\;10^3\;+\;8\;\times\;10^2\;+\;7\;\times\;10^1\;+\;2\;\times\;10^0\)

Классификация позиционных систем

Двоичные

Определение

Двоичная система — система счисления, в которой в качестве базовых чисел выбираются степени числа два.

Чтобы не путать их с числами, записанными в десятичной системе счисления, справа внизу указывают основание системы счисления. Обычно число при этом заключают в скобки.

Двоичную систему использовали задолго до возникновения информационных технологий. Во втором тысячелетии до нашей эры народы Южной Америки кодировали двоичной системой свои записи, в том числе и не числовые. Узелок и ровный участок нити чередовались друг с другом.

В современной двоичной системе, на основе которой был создан телеграф, а позже — реле и переключатели, единица обозначает наличие сигнала, ноль — его отсутствие. Цифровые электронные схемы работают по тому же принципу. Также на нем основаны сигнальные системы, использующиеся до сих пор, например, азбука Морзе.

Восьмеричные

Когда-то два индейских племени решили, что им удобно при счете смотреть на восемь промежутков между пальцами, а не на сами пальцы. Восьмеричная система счисления отразилась в их языках, в которых только восемь слов, обозначающих цифры.
В двадцатом веке, когда для написания программ требовалось зашифровывать все больше информации в двоичной системе и упростить вычисления для людей, придумали альтернативную систему, которая позволила сократить количество цифр в коде. Число восемь — это два в кубе, поэтому перевести записи из двоичной системы в восьмеричную и обратно проще, чем в десятичную.

Десятичные

Элементы числовой базы, или ключевые числа, в десятичной системе счисления представляют собой степени десяти: 10 = 10^1, 100 = 10^2, 1000 = 10^3.
В системе всего десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Число 10 — основание системы счисления. Цифры от 0 до 9 представляют собой коэффициенты разложения числа по степеням десяти.

Родиной десятичной системы счисления считается Индия, хотя еще в вавилонской цивилизации с ее шестидесятеричной системой использовались закодированные десятичные цифры, а инки в своей узелковой письменности кодировали информацию десятью цветами. Но именно в Индии начали строго соблюдать порядок разрядов числа при записи и ставить ноль, чтобы избежать путаницы. Примерно в середине VIII века эту систему стали использовать другие страны. В Европе она распространилась к XVI веку и была названа «арабской».

Шестнадцатеричные

Шестнадцатеричные системы, как и восьмеричные, появились для упрощения взаимодействия с компьютером. Кроме арабских цифр, в них используются еще и латинские буквы от А до F. В разных языках программирования для записи чисел в шестнадцатеричной системе разные правила, называемые синтаксисом.

Пятеричная

Система, связанная с количеством пальцев на одной руке, использовалась в Китае и у некоторых племен Африки. В китайском языке у иероглифов, обозначающих цифры от шести до девяти, был один и тот же знак в начале — сокращенное обозначение цифры пять. Для записи чисел в этой системе используются цифры 0, 1, 2, 3, 4.

Двенадцатеричная

Если большим пальцем руки сосчитать число фаланг на других пальцах этой руки, получится двенадцать. Группы по двенадцать предметов называли во многих европейских языках словами, схожими с русским словом «дюжина»: duodezim на латыни, douzaine на французском, dozzina на итальянском, dozen на английском. Римляне пользовались двенадцатеричными дробями, \frac1{12} они называли унцией.

В Европе счет дюжинами долгое время, вплоть до XVIII века, сохранялся наравне с десятеричной системой. Дюжина дюжин составляла гросс (от немецкого слова «большой»), дюжина гроссов — массу. Признаки влияния числа 12 заметны в англо-американской системе линейных мер, в которой 1 фут равен 12 дюймам, 1 дюйм — 12 линиям, 1 линия — 6 точкам.

Шестидесятеричная

Первой позиционной системой счисления считается шестидесятеричная система в Древнем Вавилоне. Ее основание до сих пор применяют для измерения времени. Система счисления времени — смешанная, но для перевода минут в секунды или часы потребуется именно шестидесятеричная система.

Для измерения углов и записи координат (широты, долготы) тоже используют эту систему, так как изначально астрономические координаты записывали в шестидесятеричных дробях. По аналогии с часом градус делят на шестьдесят минут, минуту — на шестьдесят секунд.

Двадцатеричная

Двадцатеричную систему называют вигезимальной. Эта система, как и десятеричная, связана с количеством пальцев, поэтому многие народы изобрели ее независимо друг от друга. Основание 20 сохранилось в лингвистической структуре их языков, именно на нем основана система счета в разговорной речи. Например, во французском языке «восемьдесят» состоит из слов «четыре» и «двадцать».

Важные нюансы при переводе чисел

В процессе перевода чисел важно учитывать некоторые нюансы

Убедитесь, что правильно выбрали исходную систему счисления. От этого зависит точность перевода.
Не перепутайте двоичную и восьмеричную системы. Одна полна нулей и единиц, другая — до семерки.
Помните, что в шестнадцатеричной системе используются не только цифры, но и буквы от A до F. Это не опечатка!
В двоичной системе нет места числу 2. Так же, как в диете нет места пицце.
При переводе больших чисел будьте внимательны — они могут стать очень длинными, особенно в двоичной системе.
Используйте перевод чисел для развлечения и обучения, но не для создания тайных кодов. Хотя… почему бы и нет?
Если результат перевода выглядит странным, проверьте его еще раз. Алгоритмы не ошибаются, но люди — иногда.
И последнее: экспериментируйте! Попробуйте перевести свой номер телефона или дату рождения в другую систему. Это весело!

Часто задаваемые вопросы

А вот ответы на популярные вопросы о системах счисления.

Как перевести число из двоичной системы в десятичную?

Чтобы перевести число из двоичной системы в десятичную, нужно каждый бит умножить на 2 в степени его позиции и сложить результаты.

Почему двоичная система так популярна в компьютерах?

Компьютеры используют двоичную систему, поскольку она идеально подходит для представления данных с помощью двух состояний: включено (1) и выключено (0).

Какая система счисления лучше всего подходит для повседневного использования?

Для повседневного использования наиболее удобна десятичная система счисления.

Перевод целых чисел из 10 системы счисления в любую

Для перевода надо делить «в столбик» число на основание системы счисления. Каждый очередной остаток будет цифрой
числа

Вывод числа в произвольной системе счисления:

{$APPTYPE CONSOLE}

uses SysUtils;

var 
  x, b : longint;
  s : string; { Результат преобразования }
begin
  Write('Введите число: '); Readln(x);
  Write('Введите основание системы счисления: '); Readln(b);  
  s := '';
  while x > 0 do begin
    s := IntToStr(x mod b) + s; { Остаток - это очередная цифра. Приписываем её спереди к числу }
    x := x div b; { Делим на основание системы счисления }
  end;
  if s = '' then s := '0';
  writeln('Результат: ',s);
end.

Виды систем счисления

Существует несколько различных систем счисления, которые используются для представления чисел и информации в компьютерной науке:

Десятичная система счисления — наиболее распространенная система счисления, которую мы используем в повседневной жизни. Она основана на числах от 0 до 9 и использует позиционную нотацию, где каждая позиция числа имеет определенное значение в зависимости от ее положения.
Двоичная система счисления — основная система счисления в компьютерной науке. Она использует только две цифры — 0 и 1 — и основана на системе двоичной арифметики. Двоичные числа обычно представляются с помощью комбинаций нулей и единиц, называемых битами.
Шестнадцатеричная система счисления — система счисления, которая использует 16 цифр: от 0 до 9 и от A до F. Она используется в компьютерных системах для более удобного представления двоичных значений. В шестнадцатеричной системе каждая цифра соответствует 4-м битам двоичной системы.
Восьмеричная система счисления — система счисления, которая использует 8 цифр: от 0 до 7. Она редко используется в компьютерной науке, но иногда встречается в некоторых программных языках или системах счисления для более компактного представления чисел.

Эти различные системы счисления имеют разные особенности и применяются в разных областях компьютерной науки, в зависимости от их удобства и эффективности для конкретных задач.

Десятичная система счисления

Каждая позиция числа в десятичной системе имеет значение, увеличивающееся в 10 раз по сравнению с предыдущей позицией. Например, число 1234 в десятичной системе может быть записано как 1 * 10^3 + 2 * 10^2 + 3 * 10^1 + 4 * 10^0.

Десятичная система счисления широко используется в нашей повседневной жизни для представления различных величин: времени, денежных сумм, количества предметов и т.д. Она также широко применяется в программировании и математике.

Двоичная система счисления

Двоичная система счисления имеет свою особенность, которую называют единственной или двоичной логикой. В двоичной системе числа записываются в виде последовательности битов (binary digit – двоичная цифра). Каждый бит может иметь только два значения: 0 или 1.

Двоичная система счисления широко применяется в информатике и компьютерных науках. В компьютерах и других цифровых устройствах информация обрабатывается в двоичной форме, так как она основана на работе электрических сигналов, которые могут быть либо высокими (1), либо низкими (0) напряжениями.

В двоичной системе счисления каждая цифра имеет свой вес, который определяет значение этой цифры. Начиная с младшего разряда, каждый следующий бит умножается на степень двойки. Например, в двоичном числе 101010, первый бит (справа) имеет вес 2^0 (1), второй бит – вес 2^1 (2), третий бит – вес 2^2 (4), и так далее.

Двоичная система счисления также позволяет легко производить операции с числами, такие как сложение, вычитание, умножение и деление. Для этого используется особый алгоритм, который основывается на двоичной логике.

Изучение двоичной системы счисления является важной основой для понимания работы компьютеров и программирования. Поэтому, понимание ее принципов и особенностей является необходимым для любого, кто интересуется информатикой и программированием

Шестнадцатеричная система счисления

В шестнадцатеричной системе счисления каждый разряд числа имеет вес, равный степени 16. Начиная с младших разрядов, каждому разряду соответствует своя весовая степень — от младшего к старшему разряду это 160, 161, 162 и так далее. Это позволяет компактно и удобно представлять большие числа в системе счисления, основанной на степени 16.

Шестнадцатеричная система счисления широко используется в информатике и программировании. Она представляет удобный способ записи и передачи чисел в компьютерных системах, так как каждая шестнадцатеричная цифра может быть легко представлена четырьмя двоичными разрядами.

В шестнадцатеричной системе обычно используются буквы A, B, C, D, E и F для представления чисел, которые больше 9. Например, число 10 записывается как A, число 15 — как F, и так далее.

Шестнадцатеричная система счисления часто применяется при работе с цветами в графическом дизайне и веб-разработке. Например, цвета в формате RGB (красный, зеленый, синий) часто записываются в шестнадцатеричной системе, где каждая компонента цвета представлена двумя шестнадцатеричными цифрами (от 00 до FF).

В информатике важно понимать основы и принципы работы различных систем счисления, так как они широко используются при работе с числами и данными в компьютерных системах

Позиционные и непозиционные системы счисления

Системы счисления бывают непозиционными (аддитивными) и позиционными (мультипликативными).

Чтобы разобраться в этом рассмотрим для примера нашу «арабскую» систему счисления. Например, число 3333 – три тысячи триста тридцать три. Здесь каждая цифра «3» в зависимости от того, в каком месте находиться обозначает свое число. Первая тройка слева, это три тысячи, вторая, три сотни, третья – три десятка, четвертая – три единицы. Т.е. это позиционная система. В таких же системах значение каждой цифры, зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа. В непозиционных системах значение каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа.

Число 3333 можно представить в таком виде 3?1000 + 3?100 + 3?10 + 3. Т.е. для представления этого числа используется умножение (по-английски multiplication), отсюда название этой системы — мультипликативная.

В непозиционных же системах для представления числа используется сложение всех цифр, по-английски сложение – add. Поэтому другое название этих систем — аддитивные.

Непозиционные системы счисления

Кроме позиционных систем, существуют также непозиционные системы, в которых расположение цифры в числе не влияет на его числовое значение. Например, римская система цифр строится на основе символов I, V, X, L, C, D, M, которые означают соответственно 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000. Так, римское XVII означает 17. Получено путем суммирования 10 + 5 + 1 + 1.

Еще один пример: число 14 римскими цифрами записывается как XIV. Здесь использованы символы X, I, и V, которые обозначают 10, 1 и 5. Существует правило, согласно которому, меньшее число стоящее слева от большего следует вычитать из него. То есть I (1) меньше V (5), поэтому 5 – 1 = 4. И тогда число XIV получается как 10 + (5 – 1) = 14

Например, 1985 год в римской системе выглядит так MCMLXXXV: 1000 + (1000 – 100) + 50 + 10 + 10 + 10 + 5 = 1985

Рис. 2. Таблица римских цифр и их значений.

Самой первой системой счисления в истории человечества была унарная система, в которой использовался только один знак, или точнее один камень, палочка или засечка. Конечно, с помощью такой системы записать большие числа практически невозможно. Поэтому древние люди стали заменять группы палочек другим символом.

Рис. 3. Унарная система счисления.

Что мы узнали?

Числа для удобства записи представляются с помощью системы символов, которая называется системой счисления. Существуют позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах количество используемых знаков называется основанием. В информатике используются двоичная, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная системы счисления.

/10

Вопрос 1 из 10

Алгоритмы перевода в системы счисления по разным основаниям

Алгоритм перевода чисел из любой системы счисления в десятичную

Представить число в развернутой форме. При этом основание системы счисления должно быть представлено в десятичной системе счисления.
Найти сумму ряда. Полученное число является значением числа в десятичной системе счисления.

Алгоритм перевода целых чисел из десятичной системы счисления в любую другую

Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получится частное, меньше делителя.
Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.
Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка.

Алгоритм перевода правильных дробей из десятичной системы счисления в любую другую

Последовательно умножаем данное число и получаемые дробные части произведения на основание новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равна нулю или будет достигнута требуемая точность представления числа.
Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.
Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

Алгоритм перевода произвольных чисел из десятичной системы счисления в любую другую

Перевод произвольных чисел, т.е. содержащих целую и дробную часть, осуществляется в два этапа:

Отдельно переводится целая часть.
Отдельно переводится дробная.
В итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в систему счисления с основанием q=2n

Для облегчения решения задач заполним следующую таблицу:

Десятичная	Двоичная	Восьмеричная	Шестнадцатеричная
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

Если основание q-ричной системы счисления является степенью числа 2, то перевод чисел из q-ричной систему счисления в 2-ичную и обратно можно проводить по более простым правилам.

Двоичное число разбить справа налево на группы по n в каждой.
Если в левой последней группе окажется меньше n разрядов, то её надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов.
Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать её соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2n

Двоичная арифметика

Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же хорошо известным правилам.

Сложение

Рассмотрим сложение чисел в двоичной системе счисления

В основе лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел:
0+0=00+1=11+0=11+1=101+1+1=11

Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной или больше основания системы счисления. Для двоичной системы счисления эта величина равна двум. Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствие с вышеприведенной таблицей сложения с учетом возможных переносов из младших разрядов с старшие.

Для двоичной системы счисления эта величина равна двум. Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствие с вышеприведенной таблицей сложения с учетом возможных переносов из младших разрядов с старшие.

Вычитание

Рассмотрим вычитание двоичных чисел. В основе лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда. В таблице заем обозначается 1 с чертой.
0-0=00-1=111-0=11-1=0

Умножение

В основе умножения лежит таблица умножения одноразрядных двоичных чисел:
0*0=00*1=01*0=01*1=1

Умножение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с приведенной таблицей умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления, с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.

Деление

Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления.

Системы счисления. Позиционная и непозиционная системы счисления

Система счисления – это способ записи чисел. Обычно, числа записываются с
помощью специальных знаков – цифр (хотя и не всегда). Если вы никогда не
изучали данный вопрос, то, по крайней мере, вам должны быть известны две
системы счисления – это арабская и римская. В первой используются цифры 0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и это позиционная система счисления. А во второй – I, V,
X, L, C, D, M и это непозиционная система счисления.

В позиционных системах счисления количество, обозначаемое цифрой в числе,
зависит от ее позиции, а в непозиционных – нет. Например:

11 – здесь первая единица обозначает десять, а вторая – 1.
II – здесь обе единицы обозначают единицу.

345, 259, 521 – здесь цифра 5 в первом случае обозначает 5, во втором – 50,
а в третьем – 500.

XXV, XVI, VII – здесь, где бы ни стояла цифра V, она везде обозначает пять
единиц. Другими словами, величина, обозначаемая знаком V, не зависит от его
позиции.

Сложение, умножение и другие математические операции в позиционных системах
счисления выполнить легче, чем в непозиционных, т.к. математические операции
осуществляются по несложным алгоритмам (например, умножение в столбик,
сравнение двух чисел).

В мире наиболее распространены позиционные системы счисления. Помимо знакомой
всем с детства десятичной (где используется десять цифр от 0 до 9), в технике
широкое распространение нашли такие системы счисление как двоичная
(используются цифры 0 и 1), восьмеричная и шестнадцатеричная.

Следует отметить, важную роль нуля. «Открытие» этой цифры в истории
человечества сыграло большую роль в формировании позиционных систем счисления.

Основание системы счисления – это количество знаков,
которое используется для записи цифр.

Разряд — это позиция цифры в числе. Разрядность числа — количество
цифр, из которых состоит число (например, 264 — трехразрядное число,
00010101 — восьмиразрядное число). Разряды нумеруются справа на лево (например,
в числе 598 восьмерка занимает первый разряд, а пятерка — третий).

Итак, в позиционной системе счисления числа записываются таким
образом, что каждый следующий (движение справа на лево) разряд больше другого
на степень основания системы счисления. (придумать схему)

Одно и тоже число (значение) можно представить в различных системах
счисления. Представление числа при этом различно, а значение остается
неизменным.

Информатика

Введение

Распространенные системы счисления в информатике

Что такое позиционная система