Арифметическая прогрессия: свойства и формулы

Числовая последовательность

В жизни мы часто встречаемся с функциями, областью определения которых является множество натуральных чисел. Например, стоимость проезда в пригородном транспорте зависит от дальности поездки и задается функцией

Функция стоимости проезда задана таблично, областью определения функции является множество натуральных чисел В таком случае говорят, что рассматривается функция натурального аргумента, или числовая последовательность.

Примером числовой последовательности является последовательность положительных четных чисел: 2; 4; 6; 8; … . Число 2 — первый член последовательности, число 4 — второй и т. д. Ясно, что на 5-м месте будет число 10 (пятый член последовательности), а на 100-м — число 200 (сотый член последовательности).

Еще один пример — последовательность чисел, обратных натуральным числам: На месте запишется число которое является членом данной последовательности.

Последовательности могут быть конечными и бесконечными. Например, последовательность двузначных чисел 10; 11; …; 99 является конечной, так как содержит конечное число членов. А последовательность нечетных натуральных чисел — бесконечная.

Определение числовой последовательности

Определение:

Числовой последовательностью называется функция, определенная на множестве натуральных чисел, т. е. зависимость, при которой каждому натуральному числу ставится в соответствие единственное действительное число.

Числа, образующие последовательность (значения функции), называются членами последовательности. Они записываются буквами с индексами, обозначающими номер члена последовательности: — первый член последовательности, — второй член последовательности, член последовательности. Последовательность с членом обозначается Для обозначения последовательности можно использовать любую букву латинского алфавита. Например, последовательность имеет вид

Если — последовательность нечетных натуральных чисел

Последовательности, так же как и функции, могут быть заданы различными способами.

Аналитический способ — это задание последовательности с помощью формулы ее члена. Например, последовательность четных натуральных чисел можно задать с помощью формулы а последовательность чисел, обратных натуральным числам, задается формулой

С помощью формулы члена можно найти любой член последовательности.

Например, пусть последовательность задана формулой тогда

Чтобы найти некоторый член последовательности с помощью формулы члена, нужно вместо п подставить в формулу натуральное число, равное номеру искомого члена (индексу в его обозначении).

Для задания последовательностей часто используется рекуррентный способ (от лат. recurrentis — возвращающийся). Он заключается в вычислении следующих членов последовательности по предыдущим.

Например, условия и определяют бесконечную последовательность: т. е.

Пример №1

Найдите несколько членов последовательности где

Решение:

Запишем несколько членов этой последовательности в ряд: 1; 1; 2; 3; 5; … .

Полученную последовательность чисел называют последовательностью Фибоначчи по имени итальянского математика Леонардо Фибоначчи (1180—1240).

Формула n-го члена последовательности

Последовательность задана формулой члена Найдите:

Решение:

Пример №3

Последовательность задана формулой члена Является ли членом этой последовательности число:

а) -2; б) -7?

Решение:

Для того чтобы определить, является ли число членом последовательности, нужно определить, имеет ли натуральные корни уравнение:

а) значит, число -2 не является членом последовательности;

б) значит, число -7 является членом последовательности с номером 5.

Пример №4

Для каких членов последовательности заданной формулой члена выполняется неравенство ?

Решение:

Подставим в неравенство выражение для члена, получим Решение полученного квадратного неравенства есть отрезок , выберем из этого отрезка только натуральные числа, получим . Значит, данное неравенство выполняется только для первого члена последовательности.

Рекуррентный способ задания последовательности

Запишите 5 первых членов последовательности , если

Решение:

Пример №6

Запишите несколько первых членов последовательности , если

Задайте эту последовательность формулой члена.

Решение:

Получим следующую последовательность: 8; -8; 8; -8; …. На нечетных местах этой последовательности стоят члены, равные числу 8, а на четных — числу -8, значит, формула члена имеет вид

Примеры задач с решением

Рассмотрим как решать задачи на заданную тему.

Пример 1

Требуется вычислить 574 член в ряду арифметической прогрессии, первые три члена которой «8, 15, 22…».

Вариант рассуждений по примеру 1. Для нахождения любого конкретного элемента ряда нам необходима информация о значении первого члена (a1) и о разности (d). Чтобы вычислить разность, вычитаем из второго члена ряда первый (15 – и получаем d = 7. Теперь мы можем считать по формуле:

Подставляя полученные значения, получим выражение вида a574 = 8 + (574-1) * 7.

После вычисления получаем ответ: a574 = 4019.

Пример 2

Требуется вычислить 544 член ряда, являющийся арифметической прогрессией, при условии, что 154-ый член равен 17, а разность (d) равна 8.

Вариант рассуждений по примеру 2. Пользоваться в данной ситуации мы будем формулой из предыдущего примера:

Подставляя известные значения, получаем выражение – а544 = 17 + (544 1) * 8.

Вычисляя, получаем ответ а544 = 4361.

Пример 3

Для подготовки к экзамену по биологии студенту Смирнову необходимо выучить 730 вопросов (включая загадки). Известно, что он весьма обеспокоен и по мере приближения даты экзамена учит ежедневно на 27 вопросов больше, чем в предыдущий день. Друг Смирнова выяснил, что тот в первый день выучил всего 17 вопросов.

Требуется выяснить, сколько времени у студента ушло на подготовку.

Вариант рассуждений по примеру 3. Очевидно, что случай с подготовкой студента к экзамену решается через формулы арифметической прогрессией (поскольку присутствует фиксированная разность d = 17). Производим подстановку известных данных:

После подстановки получаем выражение: 730 = 17 + (n 1) * 27.

После вычислений определяем ответ – 27 дней.

Арифметическая прогрессия является наиболее простой из всех числовых зависимостей. Использование описанных формул позволит намного ускорить вычисления в задачах, где это требуется.

Кроме этого, для упрощения можно использовать онлайн калькулятор. В школе данную тему изучают в программе за 9 класс, а основные задания касаются нахождения членов и сумм.

Девушки бывают разные, но найти среди них идеальную непросто. Зато вы легко найдете свой идеал в сексе на пару часов или горячую ночку, если полюбопытствуете в нашем каталоге проститутки Самара Барышни легки на подъем, легки в общении, характером обладают тоже легким, а еще легче – их поведение!

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

В случае сходящихся последовательностей сформулировано несколько теорем, которые удобно использовать на практике при решении задач. Запишем их.

Сходящиеся последовательности характеризуются следующими свойствами:

1. Какая-либо последовательность, которая может быть бесконечно мала, является сходящейся, а ее предел имеет нулевое значение.
2. Исключение какого-либо конечного количества элементов из последовательности, являющейся бесконечной, не оказывает влияние на сходимость и предел рассматриваемой последовательности.
3. Какая-либо сходящаяся последовательность элементов «хаусдорфова пространства» обладает единственным пределом.
4. Какая-либо сходящаяся последовательность обладает ограничениями. С другой стороны, не каждая ограниченная последовательность способна сходится.
5. Схождение последовательности возможно лишь при наличии ограничений и совпадении верхнего и нижнего пределов.
6. При схождении последовательности  которая не является бесконечно малой, начиная с определенного номера, определена последовательность , являющаяся ограниченной.
7. Сходящиеся последовательности в сумме дают сходящуюся последовательность.
8. Результатом вычитания сходящихся последовательностей является сходящаяся последовательность.
9. При умножении сходящихся последовательностей получают сходящуюся последовательность.
10. Результат деления пары сходящихся последовательностей определяют, начиная с какого-то элемента, при условии, что вторая последовательность не является бесконечно малой. Определенное частное пары сходящихся последовательностей является сходящейся последовательностью.
11. При ограничении сходящейся последовательности снизу любая ее нижняя грань не превышает предела рассматриваемой последовательности.
12. При ограничении сходящейся последовательности сверху предел данной последовательности не может превышать какую-либо грань из ее верхних граней.
13. Когда для какого-либо из номеров члены первой сходящейся последовательности не превышают члены второй сходящейся последовательности, предел первой последовательности аналогично не превышает предел другой последовательности.
14. Когда каждый из элементов какой-то последовательности, начиная с определенного номера, расположен на отрезке, соединяющем соответствующие элементами пары других последовательностей, которые сходятся к одному пределу, данная последовательность аналогично сходится к этому же пределу.
15. Каждую сходящуюся последовательность  допустимо записать как , где a является пределом последовательности  обозначает какую-то бесконечно малую последовательность.
16. Любая сходящаяся последовательность представляет собой фундаментальную последовательность. При этом фундаментальная числовая последовательность в каждом случае сходится, как и некая фундаментальная последовательность элементов полного пространства.

Последовательности

Будем выписывать в порядке возрастания положительные четные числа. Первое такое число равно 2, второе 4, третье 6, четвертое 8 и т. д. Получим последовательность

2; 4; 6; 8; … .

Очевидно, что на пятом месте в этой последовательности будет число 10, на десятом — число 20, на сотом — число 200. Вообще для любого натурального числа п можно указать соответствующее ему положительное четное число; оно равно 2n.

Рассмотрим еще одну последовательность. Будем выписывать в порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1:

Для любого натурального числа n мы можем указать соответствующую ему дробь; она равна Так, на шестом месте должна стоять дробь на тридцатом дробь , на тысячном — дробь

Числа, образующие последовательность, называют соответственно первым, вторым, третьим, четвертым и т. д. членами последовательности. Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена. Например, (читают: «а первое, а второе, а третье, а четвертое» и т. д.). Вообще член последовательности с номером n, или, как говорят, n-й член последовательности, обозначают Саму последовательность будем обозначать так:

Заметим, что последовательность может содержать конечное число членов. В таком случае ее называют конечной. Например, конечной является последовательность двузначных чисел:

Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером.

Часто последовательность задают с помощью формулы n-го члена последовательности. Например, последовательность положительных четных чисел можно задать формулой последовательность правильных дробей с числителем, равным 1, — формулой Приведем другие примеры.

Пример:

Пусть последовательность задана формулой Подставляя вместо n натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5 и т. д., получаем:

Рассматриваемая последовательность начинается так:

Пример:

Пусть последовательность задана формулой Все члены этой последовательности с нечетными номерами равны —10, а с четными номерами равны 10:

Получаем последовательность

Пример:

Формулой задается последовательность, все члены которой равны 5:

Рассмотрим еще один способ задания последовательности.

Пример:

Пусть первый член последовательности равен 3, а каждый следующий член равен квадрату предыдущего, т. е.

С помощью формулы можно по известному первому члену последовательности вычислить второй, затем по известному второму найти третий, по известному третьему — четвертый и т. д. Получим последовательность

Формулу, выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько), называют рекуррентной (от латинского слова recurro — возвращаться).

Примеры задач

Пример 1

Найти сумму $5$ членов прогрессии, описывающей четные положительные числа.

Решение.

Последовательность положительных четных чисел имеет вид

$2,4,6,8,10,…$

Она является арифметической.

Очевидно, что разность данной арифметической прогрессии равняется

$d=4-2=2$

Тогда по второй формуле суммы арифметической прогрессии, получим:

$S_5=\frac{2\cdot 2+(5-1)\cdot 2}{2\cdot 5}=30$

Ответ: $30$.

Пример 2

Найти сумму $5$ членов прогрессии, описывающей степени натуральных чисел тройки.

Решение.

Последовательность таких чисел имеет вид

$3,9,27,81,…$

Она является геометрической.

Очевидно, что знаменатель данной геометрической прогрессии равняется

$q=\frac{9}{3}=3$

Тогда по второй формуле суммы арифметической прогрессии, получим:

$S_5=\frac{3\cdot (3^5-1)}{3-1}=363$

Ответ: $363$.

Более сложные задачи на арифметическую прогрессию

Теперь у вас есть вся необходимая информация для решения практически любой задачи на арифметическую прогрессию. Завершим тему рассмотрением задач, в которых надо не просто применять формулы, но и немного думать (в математике это бывает полезно )

Пример (ОГЭ).Найдите сумму всех отрицательных членов прогрессии: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…Решение:

\(S_n=\)\(\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\)\(\cdot n\)		Задача очень похожа на предыдущую. Начинаем решать также: сначала найдем \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Теперь бы подставить \(d\) в формулу для суммы… и вот тут всплывает маленький нюанс – мы не знаем \(n\). Иначе говоря, не знаем сколько членов нужно будет сложить. Как это выяснить? Давайте думать. Мы прекратим складывать элементы тогда, когда дойдем до первого положительного элемента. То есть, нужно узнать номер этого элемента. Как? Запишем формулу вычисления любого элемента арифметической прогрессии: \(a_n=a_1+(n-1)d\) для нашего случая.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Нам нужно, чтоб \(a_n\) стал больше нуля. Выясним, при каком \(n\) это произойдет.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)		Решаем полученное неравенство. Переносим \(-19,3\) через знак сравнения.
\((n-1)·0,3>19,3\)           \(|:0,3\)		Делим обе части неравенства на \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac{19,3}{0,3}\)		Переносим минус единицу, не забывая менять знаки
\(n>\)\(\frac{19,3}{0,3}\)\(+1\)		Вычисляем…
\(n>65,333…\)		…и выясняется, что первый положительный элемент будет иметь номер \(66\). Соответственно, последний отрицательный имеет \(n=65\). На всякий случай, проверим это.
\(n=65;\)      \(a_{65}=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\)      \(a_{66}=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Таким образом, нам нужно сложить первые \(65\) элементов.
\(S_{65}=\)\(\frac{2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3}{2}\)\(\cdot 65\) \(S_{65}=\)\({-38,6+19,2}{2}\)\(\cdot 65=-630,5\)		Ответ готов.

Ответ:   \(S_{65}=-630,5\).

Пример (ОГЭ).Арифметическая прогрессия задана условиями: \(a_1=-33\); \(a_{n+1}=a_n+4\). Найдите сумму от \(26\)-го до \(42\) элемента включительно.Решение:

\(a_1=-33;\) \(a_{n+1}=a_n+4\)	В этой задаче также нужно найти сумму элементов, но начиная не с первого, а с \(26\)-го. Для такого случая у нас формулы нет. Как решать? Легко — чтобы получить сумму с \(26\)-го до \(42\)-ой, надо сначала найти сумму с \(1\)-ого по \(42\)-ой, а потом вычесть из нее сумму с первого до \(25\)-ого (см картинку).
	Для нашей прогрессии \(a_1=-33\), а разность \(d=4\) (ведь именно четверку мы добавляем к предыдущему элементу, чтоб найти следующий). Зная это, найдем сумму первых \(42\)-ух элементов.
\(S_{42}=\)\(\frac{2 \cdot (-33)+(42-1)4}{2}\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac{-66+164}{2}\)\(\cdot 42=2058\)	Теперь сумму первых \(25\)-ти элементов.
\(S_{25}=\)\(\frac{2 \cdot (-33)+(25-1)4}{2}\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac{-66+96}{2}\)\(\cdot 25=375\)	Ну и наконец, вычисляем ответ.
\(S=S_{42}-S_{25}=2058-375=1683\)

Ответ:   \(S=1683\).

Для арифметической прогрессии существует еще несколько формул, которые мы не рассматривали в данной статье ввиду их малой практической полезности. Однако вы без труда можете найти их здесь.

Числовая последовательностьГеометрическая прогрессия

Сумма первых членов арифметической прогрессии

Интересный случай произошел с Карлом Гауссом, известным математиком, ещё в третьем классе. Учитель предложил ученикам найти сумму первых 100 натуральных чисел. Однако Гаусс почти сразу сказал ответ: 5050. Как он смог так быстро сложить 100 чисел?

Он догадался, что в сумме

1 + 2 + 3 + 4…+ 99 + 100

можно поменять местами слагаемые, чтобы после первого было записано последнее слагаемое, после второго – предпоследнее и т.д. В итоге получится сумма

(1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + … (50 + 51)

В каждой скобке сумма слагаемых равна 101:

1 + 100 = 101

2 + 99 = 101

3 + 98 = 101

Всего же есть 50 таких скобок, каждая из которых равна 101, поэтому общая сумма равна 101•50 = 5050.

Так как натуральные числа образуют ариф. прог-сию, в которой b₁ = 1 и d = 1, то Гаусс, по сути, нашел сумму первых 100 членов ариф. прог-сии. Иногда ее просто называют суммой арифметической прогрессии. Обозначают эту сумму буквой S_n, где n – это количество первых членов прог-сии, которые надо сложить. Вычислить S_n можно так:

S₁ = b₁

S₂ = b₁ + b₂ = S₁ + b₂

S₃ = b₁ + b₂ + b₃ = S₂ + b₃

…

S_n = b₁ + b₂ + b₃ + … + b_n = S_n–1 + b_n

Однако такой способ требует, очевидно, большого объема вычислений. Есть и более короткий способ – воспользоваться формулой

Докажем ее справедливость, используя индукцию. Подставим в формулу n=1 и убедимся, что в этом случае она работает:

Получили верную формулу S₁ = b₁

Базис индукции доказан. Далее покажем, что если формула справедлива при n = k, то она истинна и при n = k + 1. То есть надо доказать, что

Действительно, сумма (k + 1) слагаемых равна

Слагаемые справа можно представить так:

S_k = (2b₁ + d(k – 1))•k/2 (потому что мы предполагаем, что формула справедлива для n = k)

b_k+1= b₁ + (k + 1 – 1)•d = b₁ + kd (формула n-ого члена ариф. прог-сии)

Тогда можно записать:

Докажем, что выр-ния (1) и (2) тождественно равны друг другу:

Умножим на двойку обе части равенства:

Раскроем скобки:

И справа, и слева стоят одинаковые выр-ния, поэтому равенство является тождеством. Значит, используемая нами формула справедлива.

Посмотрим, как использовать эту формулу на практике. Начнем с задачи, решенной в третьем классе Гауссом. Послед-ть натуральных чисел – это ариф. прог-сия, в котором 1-ый член b₁ = 1, разность d = 1. Гауссу надо было найти сумму первых 100 чисел, поэтому n = 100. Подставляем в формулу эти данные и получаем:

Получили тот же результат, что и Гаусс.

Пример. Сложите первую тысячу нечетных натуральных чисел.

Решение. Послед-ть нечетных натуральных чисел выглядит так:

1, 3, 5, 7…

Очевидно, что это ариф. прог-сия, ведь каждое следующее число получается добавлением двойки к предыдущему. У этой прог-сии b₁ = 1, d = 2. Тогда сумма 1000 чисел будет равна:

Ответ: 1000000.

Пример. Сложите все трехзначные натуральные числа.

Решение. Нам надо сложить числа от 100 до 999. Здесь можно предложить два алгоритма решения.

Первый способ. Сложим числа от 1 до 99:

Далее сложим числа от 1 до 999:

Для того, чтобы найти сумму от 100 до 999, вычтем из S₉₉₉ сумму S₉₉:

Второй способ. Трехзначные нат. числа образуют ариф. прог-сию:

100, 101, 102, 103…

у которой b₁ = 100, а разность d = 1. Сколько всего есть трехзначных чисел? Всего есть 999 чисел от 1 до 999, для записи которых хватает 3 цифр. Однако для первых 99 из них достаточно двух или даже одной цифры. Поэтому трехзначных чисел всего 999 – 99 = 900.

По этой причине примем n = 900. Далее подставим параметры прогрессии в формулу и получим:

Ответ: 494550

Пример. Задана ариф. прог-сия, у которой b₁ = 125, d = – 19:

125, 106, 87, 68, 49…

Чему равна сумма первых 50-ти ее членов? Какова сумма вторых 50-ти членов послед-ти?

Решение. Для нахождения суммы первых 50-ти членов подставим в формулу условия задачи:

Для ответа на второй вопрос задачи предварительно вычислим сумму 100 первых чисел:

Сумма вторых 50-ти чисел равна разнице S₁₀₀– S₅₀:

Ответ: – 64525

Пример. Решите уравнение, зная, что слева записана арифм. прог-сия:

2 + 8 + 14 + 20 + … + х = 184

Решение. Ясно, что в данной прог-сии b₁ = 2. Разность прог-сии можно определить, просто вычтя из второго члена прог-сии первый:

d = 8 — 2 = 6

Слева записана сумма первых n слагаемых (n нам неизвестно). Заменим это выражение формулой:

По условию эта сумма равна 184. Тогда можно записать равенство:

Имеем уравнение, из которого можно найти n. Сначала умножим обе части на 2:

По таблице квадратов можно узнать, что квадратный корень из 8836 равен 94, ведь 942 = 8836. Тогда корни квадр. ур-ния будут равны:

Первый корень – лишний, ведь n может быть только нат. числом. Поэтому n = 8.

Если слева в исходном ур-нии

стоит сумма n = 8 членов ариф. прог-сии, то х – это восьмой ее член. Найти его можно, используя формулу:

Подставим х в ур-ние и убедимся, что мы не ошиблись:

Проверка подтвердила правильность решения.

Виды арифметической (алгебраической) прогрессии

Разновидности строятся на основании характеристики разности (d), а именно на основании отличия последней от нуля.

Таким образом, можно встретить определенные вариации:

• разность d&lt,0 – прогрессия будет считаться убывающей, а каждый последующий член будет меньше предыдущего,
• разность d&gt,0 – это предполагает, что каждый член в ряду будет больше предыдущего, а прогрессию будут называть возрастающей,
• при d=0 ряд тоже будет иметь свойства прогрессии, которую именуют стационарной, и все члены будут одинаковыми (не будут изменяться).

Если прогрессия не изменяется с каждым шагом на одну и ту же разность, то эта прогрессия непостоянная и арифметической не является.

Важно знать: арифметическая от геометрической отличается тем, что в последней производится увеличение каждого последующего на один и тот же множитель

Важные формулы арифметической прогрессии

Как видите, многие задачи по арифметической прогрессии можно решать, просто поняв главное – то, что арифметическая прогрессия есть цепочка чисел, и каждый следующий элемент в этой цепочке получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа (разности прогрессии).

Однако порой встречаются ситуации, когда решать «в лоб» весьма неудобно. Например, представьте, что в самом первом примере нам нужно найти не пятый элемент \(b_5\), а триста восемьдесят шестой \(b_{386}\). Это что же, нам \(385\) раз прибавлять четверку? Или представьте, что в предпоследнем примере надо найти сумму первых семидесяти трех элементов. Считать замучаешься…

Поэтому в таких случаях «в лоб» не решают, а используют специальные формулы, выведенные для арифметической прогрессии. И главные из них это формула энного члена прогрессии и формула суммы \(n\) первых членов.

Формула \(n\)-го члена: \(a_n=a_1+(n-1)d\),  где   \(a_1\) – первый член прогрессии;
                                                                                \(n\) – номер искомого элемента;
                                                                                \(d\) – разность прогрессии;  
                                                                                \(a_n\) – член прогрессии с номером \(n\).

Эта формула позволяет нам быстро найти хоть трехсотый, хоть миллионный элемент, зная только первый и разность прогрессии.

Пример. Арифметическая прогрессия задана условиями: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Найдите \(b_{246}\). Решение:

\(b_1=-159\); \(d=8,2\) \(b_{246}=?\)	Больше двухсот раз прибавлять \(8,2\) к \(-159\) – перспектива не самая радужная. Лучше воспользуемся формулой, подставив вместо \(n\) номер искомого элемента.
\(n=246\); \(b_{246}=-159+(246-1)·8,2=\) \(=-159+245·8,2=\) \(=-159+2009=1850\)	Можно писать ответ.

Ответ:   \(b_{246}=1850\).

Формула суммы n первых членов: \(S_n=\frac{a_1+a_n}{2} \cdot n\), где 

\(S_n\) – искомая сумма \(n\) первых элементов;
\(a_1\) – первый суммируемый член;
\(a_n\) – последний суммируемый член;  
\(n\) – количество элементов в сумме.

Пример (ОГЭ).Арифметическая прогрессия задана условиями \(a_n=3,4n-0,6\). Найдите сумму первых \(25\) членов этой прогрессии.Решение:

\(S_{25}=\)\(\frac{a_1+a_{25}}{2 }\)\(\cdot 25\)		Чтобы вычислить сумму первых двадцати пяти элементов, нам нужно знать значение первого и двадцать пятого члена. Наша прогрессия задана формулой энного члена в зависимости от его номера (подробнее смотри здесь). Давайте вычислим первый элемент, подставив вместо \(n\) единицу.
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Теперь найдем двадцать пятый член, подставив вместо \(n\) двадцать пять.
\(n=25;\) \(a_{25}=3,4·25-0,6=84,4\)		Ну, а сейчас без проблем вычисляем искомую сумму.
\(S_{25}=\)\(\frac{a_1+a_{25}}{2}\)\(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac{2,8+84,4}{2}\)\(\cdot 25 =\)\(1090\)		Ответ готов.

Ответ:   \(S_{25}=1090\).

Для суммы \(n\) первых членов можно получить еще одну формулу: нужно просто в \(S_{25}=\)\(\frac{a_1+a_{25}}{2}\)\(\cdot 25\) вместо \(a_n\) подставить формулу для него \(a_n=a_1+(n-1)d\). Получим:

Формула суммы n первых членов: \(S_n=\)\(\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\)\(\cdot n\), где 

\(S_n\) – искомая сумма \(n\) первых элементов;
\(a_1\) – первый суммируемый член;
\(d\) – разность прогрессии;
\(n\) – количество элементов в сумме.

Пример .Найдите сумму первых \(33\)-ех членов арифметической прогрессии: \(17\); \(15,5\); \(14\)…Решение:

\(S_{33}=\)\(\frac{2a_1+(33-1)d}{2}\)\(\cdot 33\)		Для решения задачи воспользуемся последней формулой. Первый элемент известен, нужно найти только разность прогрессии \(d\). Вычисляем ее как разность двух соседних элементов.
\(d=a_2-a_1=15,5-17=-1,5\)		Теперь можно посчитать сумму \(33\)-ех элементов.
\(S_{33}=\)\(\frac{2 \cdot 17+(33-1)(-1,5)}{2}\)\(\cdot 33=\)		Готово. Быстро и просто, почти как Доширак.  Но гораздо менее вредно.
\(=\)\(\frac{34-32·1,5}{2}\)\(\cdot 33\)\(=-231\)		Ответ готов.

Ответ:   \(S_{33}=-231\).

Числовая последовательность

Определение

Числовая последовательность – это числовая функция, у которой область определения есть множество всех натуральных чисел.

Числовая последовательность может быть задана разными способами:

1. Аналитический
2. Словесный
3. Рекуррентный

Рассмотрим самые известные примеры последовательностей. Еще со школы всем знакомы арифметическая и геометрическая прогрессии.

Арифметическая прогрессия

Посмотрим на числа:

Что у них общего? Они все нечетные и каждое следующее можно получить из предыдущего, прибавляя к нему одно и то же число. Назовем его d. В данном случае d=2.

Описанная выше последовательность – арифметическая прогрессия. Приведем основные формулы для нее:

Элемент a с номером n называется общим членом последовательности. А число d – разностью арифметической прогрессии.

Сумма первых n членов прогрессии вычисляется по формуле:

Также арифметическая прогрессия обладает характреристическим свойством:

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число q – знаменатель прогрессии. Элементы геометрической прогрессии задаются соотношением:

Основные формулы для геометрической прогрессии приведены ниже. Формула n-го члена прогрессии:

Сумма первых n членов прогрессии:

Характеристическое свойство геометрической прогрессии:

Свойства числовых последовательностей

• Последовательность называется возрастающей, если для любого n∈N выполняется неравенство  a_n<a_n+1 .
• Последовательность называется убывающей, если для любого n∈N выполняется неравенство a_n>a_n+1 .
• Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными.
• Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число M∈R , что  a_n≤M . При этом число M называется верхней границей последовательности.
• Последовательность называется ограниченной снизу, если существует такое число m∈R , что  a_n≥m . Число  m  называется нижней границей последовательности.
• Последовательность называется ограниченной, если она одновременно ограничена и сверху, и снизу.

Предел последовательности

Число называют пределом последовательности, если в любой заранее выбранной — окрестности точки содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера 

Рассмотрим задания, встречающиеся в экзаменационных работах