Как правильно определить и задать числовую последовательность

Содержание

• 1Определение
• 2Примеры
• 3Операции над последовательностями
• 4Подпоследовательности
  • 4.1Примеры
  • 4.2Свойства
• 5Предельная точка последовательности
• 6Предел последовательности
• 7Некоторые виды последовательностей
  • 7.1Ограниченные и неограниченные последовательности
    • 7.1.1Критерий ограниченности числовой последовательности
    • 7.1.2Свойства ограниченных последовательностей
  • 7.2Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
    • 7.2.1Свойства бесконечно малых последовательностей
  • 7.3Сходящиеся и расходящиеся последовательности
    • 7.3.1Свойства сходящихся последовательностей
  • 7.4Монотонные последовательности
  • 7.5Фундаментальные последовательности

Числовая последовательность
— это последовательность элементов числового пространства.

Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.

Примеры

• Функция
  является бесконечной последовательностью целых чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид
  .
• Функция
  является бесконечной последовательностью рациональных чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид
  .
• Функция, сопоставляющая каждому натуральному числу
  одно из слов «январь», «февраль», «март», «апрель», «май», «июнь», «июль», «август», «сентябрь», «октябрь», «ноябрь», «декабрь» (в порядке их следования здесь) представляет собой последовательность вида
  . В частности, пятым членом x
  ₅
  этой последовательности является слово «май».

Как исследовать на монотонность последовательность

Определение монотонности последовательности – это ключевой этап в её изучении. Следуя простым шагам, вы сможете определить, является ли ваша последовательность монотонной.

Пошаговый план исследования:

1. Выберите два соседних элемента. Начните с первого и второго числа в вашей последовательности.
2. Сравните их. Если второе число больше первого, пометьте это как «возрастание». Если меньше – как «убывание».
3. Продолжайте сравнивать. Перемещайтесь по последовательности, сравнивая каждое следующее число с предыдущим.
4. Сделайте вывод. Если все числа возрастали, ваша последовательность – возрастающая. Если убывали – убывающая. Если были как возрастания, так и убывания, последовательность не монотонна.

Пример: Рассмотрим последовательность 3, 5, 8, 10. Первый шаг: 5 больше 3. Второй шаг: 8 больше 5. Третий шаг: 10 больше 8. Все числа возрастают, значит, последовательность возрастающая.

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

В случае сходящихся последовательностей сформулировано несколько теорем, которые удобно использовать на практике при решении задач. Запишем их.

Сходящиеся последовательности характеризуются следующими свойствами:

1. Какая-либо последовательность, которая может быть бесконечно мала, является сходящейся, а ее предел имеет нулевое значение.
2. Исключение какого-либо конечного количества элементов из последовательности, являющейся бесконечной, не оказывает влияние на сходимость и предел рассматриваемой последовательности.
3. Какая-либо сходящаяся последовательность элементов «хаусдорфова пространства» обладает единственным пределом.
4. Какая-либо сходящаяся последовательность обладает ограничениями. С другой стороны, не каждая ограниченная последовательность способна сходится.
5. Схождение последовательности возможно лишь при наличии ограничений и совпадении верхнего и нижнего пределов.
6. При схождении последовательности  которая не является бесконечно малой, начиная с определенного номера, определена последовательность , являющаяся ограниченной.
7. Сходящиеся последовательности в сумме дают сходящуюся последовательность.
8. Результатом вычитания сходящихся последовательностей является сходящаяся последовательность.
9. При умножении сходящихся последовательностей получают сходящуюся последовательность.
10. Результат деления пары сходящихся последовательностей определяют, начиная с какого-то элемента, при условии, что вторая последовательность не является бесконечно малой. Определенное частное пары сходящихся последовательностей является сходящейся последовательностью.
11. При ограничении сходящейся последовательности снизу любая ее нижняя грань не превышает предела рассматриваемой последовательности.
12. При ограничении сходящейся последовательности сверху предел данной последовательности не может превышать какую-либо грань из ее верхних граней.
13. Когда для какого-либо из номеров члены первой сходящейся последовательности не превышают члены второй сходящейся последовательности, предел первой последовательности аналогично не превышает предел другой последовательности.
14. Когда каждый из элементов какой-то последовательности, начиная с определенного номера, расположен на отрезке, соединяющем соответствующие элементами пары других последовательностей, которые сходятся к одному пределу, данная последовательность аналогично сходится к этому же пределу.
15. Каждую сходящуюся последовательность  допустимо записать как , где a является пределом последовательности  обозначает какую-то бесконечно малую последовательность.
16. Любая сходящаяся последовательность представляет собой фундаментальную последовательность. При этом фундаментальная числовая последовательность в каждом случае сходится, как и некая фундаментальная последовательность элементов полного пространства.

Какие бывают последовательности

Различают:

• постоянную, или монотонную последовательность: 1, 1, 1, 1, 1… 
• возрастающую последовательность, в которой каждый следующий элемент больше предыдущего
• убывающую последовательность, в которой каждый следующий элемент меньше предыдущего

Также последовательности делятся на сходящиеся и расходящиеся. Сходящаяся последовательность имеет конечный предел. А предел расходящейся последовательности равен бесконечности, либо последовательность вообще не имеет предела. Но о пределах немного позже.

Рассмотрим самые известные примеры последовательностей. Еще со школы всем знакомы арифметическая и геометрическая прогрессии.

Арифметическая прогрессия

Посмотрим на числа:

Что у них общего? Они все нечетные и каждое следующее можно получить из предыдущего, прибавляя к нему одно и то же число. Назовем его d. В данном случае d=2.

Описанная выше последовательность – арифметическая прогрессия. Приведем основные формулы для нее:

Элемент a с номером n называется общим членом последовательности. А число d – разностью афифметической прогрессии.

Сумма первых n членов прогрессии вычисляется по формуле:

Также африфметическая прогрессия обладает характреристическим свойством:

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число q – знаменатель прогрессии. Элементы геометрической прогрессии задаются соотношением:

Основные формулы для геометрической прогрессии приведены ниже. Формула n-го члена прогрессии:

Сумма первых n членов прогрессии:

Характеристическое свойство геометрической прогрессии:

Предел последовательности.

Пусть есть последовательность {c n
} = {1/n
}.Эту последовательность называют гармонической, поскольку каждый ее член, начиная со второго, есть среднее гармоническое между предыдущим и последующим членами. Среднее геометрическое чисел a
и b
есть число

В противном случае последовательность называется расходящейся.

Опираясь на это определение, можно, например, доказать наличие предела A = 0
у гармонической последовательности {c n
} =
{1/n
}. Пусть ε – сколь угодно малое положительное число. Рассматривается разность

Существует ли такое N
, что для всех n ≥
N
выполняется неравенство 1/N ? Если взять в качестве N
любое натуральное число, превышающее1/ε
, то для всех n ≥ N
выполняется неравенство 1/n ≤
1/N ε ,что и требовалось доказать.

Доказать наличие предела у той или иной последовательности иногда бывает очень сложно. Наиболее часто встречающиеся последовательности хорошо изучены и приводятся в справочниках. Имеются важные теоремы, позволяющие сделать вывод о наличии предела у данной последовательности (и даже вычислить его), опираясь на уже изученные последовательности.

Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Теорема 2. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Теорема 3. Если последовательность {a n
}имеет предел A
, то последовательности {ca n
}, {a n
+ с}и {| a n
|}имеют пределы cA
, A
+ c
, |A
| соответственно (здесь c
– произвольное число).

Теорема 4. Если последовательности {a n
}и {b n
} имеют пределы, равные A
и B
pa n
+ qb n
} имеет предел pA
+ qB
.

Теорема 5. Если последовательности {a n
} и {b n
}имеют пределы, равные A
и B
соответственно, то последовательность {a n b n
} имеет предел AB.

Теорема 6. Если последовательности {a n
}и {b n
} имеют пределы, равные A
и B
соответственно, и, кроме того, b n ≠
0 и B ≠
0, то последовательность {a n / b n
} имеет предел A/B
.

Анна Чугайнова

Пример последовательности

Проверим, являются ли последовательности 1/n и (n-1)/n убывающими.

Если последовательность убывающая, то X(n+1)

X(n+1) — Xn = 1/(n+1) — 1/n = -1/(n*(n+1))

(n-1)/n:

X(n+1) — Xn =n/(n+1) — (n-1)/n = 1/(n*(n+1)) > 0. Значит последовательность (n-1)/n возрастающая.

Последовательность

Последовательность
— это набор
элементов некоторого множества:

• для каждого натурального числа можно указать элемент данного множества;
• это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности;
• для любого элемента (члена) последовательности можно указать следующий за ним элемент последовательности.

Таким образом, последовательность оказывается результатом последовательного
выбора элементов заданного множества. И, если любой набор элементов является конечным, и говорят о выборке конечного объёма, то последовательность оказывается выборкой бесконечного объёма.

Последовательность по своей природе — отображение, поэтому его не следует смешивать с множеством, которое «пробегает» последовательность.

В математике рассматривается множество различных последовательностей:

• временные ряды как числовой, так и не числовой природы;
• последовательности элементов метрического пространства
• последовательности элементов функционального пространства
• последовательности состояний систем управления и автоматов.

Целью изучения всевозможных последовательностей является поиск закономерностей, прогноз будущих состояний и генерация последовательностей.

Примеры задач на вычисление пределов числовой последовательности

Рассматривая далее задачи, мы введем универсальные правила для вычисления некоторых числовых последовательностей.

Пример 1

Найти предел числовой последовательности ${\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{3n^4+2n-1}{4n^3+5n^2-8}\ }$

Решение:

Правило 1: Если у числовой последовательности, записанной в виде дроби, степень числителя больше степени знаменателя, то данный предел равен $\infty $.

Таким образом, получаем что

\

Пример 2

Найти предел числовой последовательности ${\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{n^6+3n-6}{7n^7+5n^2+3}\ }$

Решение:

Правило 2: Если у числовой последовательности, записанной в виде дроби, степень числителя меньше степени знаменателя, то данный предел равен $0$.

Таким образом, получаем что

\

Пример 3

Найти предел числовой последовательности ${\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{2n^3-2n+4}{4n^3+8n^2-3}\ }$

Решение:

Правило 1: Если у числовой последовательности, записанной в виде дроби, степень числителя равна степени знаменателя, то данный предел равен отношению коэффициентов, стоящих при старших степенях.

Таким образом, получаем что

\

Понятие последовательности

Ключевые слова конспекта: числовая последовательность, способы, конечные и бесконечные, возрастающие и убывающие. Раздел ОГЭ по математике: 4.1. Понятие последовательности.

В школьном курсе рассматриваются только числовые последовательности. Например:
1; 2; 3; 4; 5; … – последовательность натуральных чисел;
1; 3; 5; 7; 9; … – последовательность нечётных чисел;
1; 4; 9; 16; 25; … – последовательность квадратов натуральных чисел.

Числовая последовательность — это занумерованное множество чисел, расположенных в порядке возрастания номеров. Члены последовательности в общем случае обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена. Например, а₁, а₂; а₃; а₄; а₅; … .

Член последоватeльности с произвольным номером n обозначают символом а_n и называют n–м членом последовательности. Тогда a_n-1 и а_n+1 соответственно члены последовательности, предшествующий n–му члену и следующий за ним. Саму последовательность обозначают так: (а_n).

Последовательность задана, если известен способ, позволяющий найти любой её член. Последовательности чаще всего задают двумя способами:

1. с помощью формулы n–го члена, т. е. формулы, которая позволит определить любой член последовательности по его номеру. Например, если последовательность задана формулой x_n = x2 + 1, то пятый член последовательности x₅ = 52 + 1 = 26;
2. с помощью рекуррентной формулы, т. е. формулы, которая выражает любой член последовательности через предыдущий. Например, a_n+1 = a_n – 1,5, тогда, если а₁ = 17, то а₂ = 17 – 1,5 = 15,5 и т. д.

Последовательнoсти бывают конечные и бесконечные.

Последовательность называется конечной, если она имеет конечное число членов, например 3, 6, 9, 12. Конечной является последовательность однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Последовательность всех натуральных чисел бесконечна.

Последовательность называется возрастающей, если каждый ее член, начиная со второго, больше предыдущего: x_n+1 > x_n. Например, последовательность 3, 6, 9, 12, … 3n … — возрастающая. Последовательность называется убывающей, если каждый ее член, начиная со второго, меньше предыдущего: x_n+1 < x_n. Например, последовательность –3; –4; –5; –6 — убывающая.

Пример 1. Последовательность (с_n) задана формулой n–го члена c_n = (n + 5)/10. Эта формула позволяет вычислить любой член последовательности по его номеру. Найдём, например, с₃₀. Подставив в формулу n = 30, получим: с₃₀ = (30+5)/10 = 3,5.

Пример 2. Рассмотрим последовательность (а_n), заданную условиями: a₁ = 1, а_n+1 = 2а_n + 1. Эта последовательность задана с помощью рекуррентной формулы, которая указывает такой способ вычисления членов последовательности: чтобы получить следующий член, нужно предыдущий член умножить на 2 и к результату прибавить 1. Зная первый член, можно по этому правилу найти второй член; зная второй член, можно точно так же найти третий; и т. д.:

a₂ = 2а₁ + 1 = 2 • 1 + 1 = 3;
а₃ = 2a₂ + 1 = 2 • 3 + 1 = 7;
а₄ = 2а₃ + 1 = 2 • 7 + 1 = 15; и т. д.

А чтобы при таком способе задания найти a₃₀, придётся последовательно вычислять все предыдущие члены со 2–го по 29–й включительно.

Это конспект по математике на тему «Последовательность». Выберите дальнейшие действия:

• Перейти к следующему конспекту: 
• Вернуться к списку конспектов по Математике.
• Проверить знания по Математике.

Свойства числовых последовательностей.

Числовая последовательность – частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.

Определение.
Последовательность {y n
}называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:

y
1 y 2 y 3 y n y n +1

Определение.Последовательность {y n
}называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:

y
1 > y
2 > y
3 > … > y n
> y n
+1 > ….

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.

Пример 1. y
1 = 1; y n
= n
2 – возрастающая последовательность.

Таким образом, верна следующая теорема (характеристическое свойство арифметической прогрессии). Числовая последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

Пример. При каком значении x
числа 3x
+ 2, 5x
– 4 и 11x
+ 12 образуют конечную арифметическую прогрессию?

Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению

5x
– 4 = ((3x
+ 2) + (11x
+ 12))/2.

Решение этого уравнения дает x
= –5,5.При этом значении x
заданные выражения 3x
+ 2, 5x
– 4 и 11x
+ 12 принимают, соответственно, значения –14,5,–31,5, –48,5.Это – арифметическая прогрессия, ее разность равна –17.

Ограниченные и неограниченные последовательности

Определение 4.
Числовую последовательность

x
1 , x
2 , … x n
, …

называют ограниченной сверху,
если существует такое число M,
что каждый член этой последовательности меньше
числа M
.

Другими словами, для всех n
= 1, 2, 3, …
выполнено неравенство

Определение 5.
Числовую последовательность

x
1 , x
2 , … x n
, …

называют ограниченной снизу,
если существует такое число m,
что каждый член этой последовательности больше
числа m
.

Другими словами, для всех n
= 1, 2, 3, …
выполнено неравенство

Определение 6.
Числовую последовательность

x
1 , x
2 , … x n
, …

называют ограниченной,
если она ограничена и сверху, и снизу.

Другими словами, существуют такие числа M
и m,
что для всех n
= 1, 2, 3, …
выполнено неравенство

m

Определение 7.
Числовые последовательности, которые не являются ограниченными
, называют неограниченными последовательностями
.

Пример 6
. Числовая последовательность

1, 4, 9, … n
2 , …

заданная формулой

x n
= n
2 , n
= 1, 2, 3, … ,

ограничена снизу
, например, числом 0.
Однако эта последовательность неограничена сверху
.

Пример 7
. Последовательность

Пусть
X
{\displaystyle X}

— это либо множество вещественных чисел
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
, либо множество комплексных чисел
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
. Тогда последовательность
{
x
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}
элементов множества
X
{\displaystyle X}

называется числовой последовательностью
.

Примеры

Пример 1.

Последовательность {a_n} определена как a₁ = 137 и a_n+1 − a_n = 0 для n ≥ 1. Найдите a₈₉₉₉

Решение:

a_n+1 − a_n = 0 означает, что a_n+1 = a_n, поэтому 137 = a₁ = a₂ = a₃ = … = a₈₉₉₉

Пример 2.

Если

найдите a_19.

Решение:

Пример 3.

Вычислите x_2.

Решение:

Пример 4.

Последовательность задана формулой

Какое из указанных чисел является членом этой последовательности? 

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

Решение:

Рассмотрим несколько первых членов последовательности, начиная с n=1:

Тем самым, число 3 является членом этой последовательности.

Пример 5.

Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них — арифметическая прогрессия. Укажите ее.

Решение:

Арифметической прогрессией называется такая последовательность в которой разность между последующим и предыдущим членами прогрессии остается неизменной. Поэтому арифметическая прогрессия является последовательность: 1; 3; 5; … Таким образом, правильный ответ указан под номером 3.

Пример 6.

Одна из данных последовательностей является геометрической прогрессией. Укажите эту последовательность.

Решение:

Геометрической прогрессией называют числовую последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый последующий, равен предшествующему, умноженному на одно и тоже отличное от нуля число. Поэтому геометрической прогрессией является последовательность:

Таким образом, правильный ответ указан под номером 2.

Пример 7.

Последовательность задана условиями 

Найдите .

Решение:

Будем вычислять последовательно: 

Данная последовательность образует арифметическую прогрессию. Найдем разность арифметической прогрессии:

Примечание.

Зная разность и первый член арифметической прогрессии, можно найти посредственно:

Ответ: −9.

Примеры для самостоятельного решения

1. Последовательность задана формулой 

Какое из следующих чисел не является членом этой последовательности?

Решение:

Рассмотрим несколько первых членов последовательности:

Отметим, что числа, указанные под номерами 1), 2) и 4) являются 2-м, 4-м и 6-м членом последовательности соответственно. Докажем, что число указанное под номером 3, не является членом последовательности ().

Действительно, первые 6 членов последовательности уже проверены. Для следующих членов первое слагаемое в сумме

не меньше 7, а абсолютная величина второго слагаемого не больше .Поэтому для всех справедлива оценка

Тем самым, число не является членом данной последовательности.

Правильный ответ указан под номером 3.

2. Последовательность задана формулой

Сколько членов в этой последовательности больше 1?

1) 8

2) 9

3) 10

4) 11

Решение:

Дробь, числитель и знаменатель которой положительны, больше единицы, если знаменатель меньше числителя. Имеем: 

Таким образом, первые 9 членов последовательности больше 1.

Правильный ответ указан под номером 2.

3. Последовательность задана условиями 

Найдите .

Решение:

Будем вычислять последовательно: 

Данная последовательность образует арифметическую прогрессию. Найдем разность арифметической прогрессии:

Примечание.

Зная разность и первый член арифметической прогрессии, можно найти посредственно:

4. Последовательность задана условиями

Найдите .

Решение:

Найдём несколько первых членов последовательности:

Отсюда ясно, что все члены последовательности с нечётными номерами равны 4.

5.

Найти: x₃

Решение:

Подставляем в формулу для n-го члена последовательности

Ответ: