Как правильно объяснить ребёнку уравнения

Определение[править]

Линейным уравнением называется уравнение вида

ax+b={\displaystyle ax+b=0} и любое другое уравнение приводимое к такому виду (например, ax+b=cx+d{\displaystyle ax+b=cx+d}). При этом неизвестное не должно находится в знаменателе.

• a{\displaystyle a} — коэффициент при неизвестной,
• b{\displaystyle b} — свободный член (любое число).

Решить уравнение значит найти такое число (корень уравнения), что при подстановке его вместо переменной x{\displaystyle x}, получается верное равенство.

Примеры линейных уравнений:

2x+1={\displaystyle 2x+1=0}. Корень(решение) этого уравнения x=−12{\displaystyle x=-1/2}

−3x+1=x−7{\displaystyle -3x+1=x-7}. Корень этого уравнения x=2{\displaystyle x=2}

При решении линейных уравнений, в подавляющем большинстве случаев может понадобиться правило переноса слагаемого.

Квадратные уравнения

Существует также уравнения квадратного вида, например: 2х2 = 32, для того, чтобы найти неизвестное или корень квадратного уравнения, в таком уравнении необходимо:

Решение:

х2 = 32 : 2

х2 = 16

х = √16

х = 4

Проверим, для этого полученное значение подставим в исходное уравнение, и получим равенство 242 = 32. так как равенство верное, то и решение уравнения верно.

Как мы видим нахождение корня уравнения не такой сложный процесс, главное запомнить правила. Стоит отметить, что помимо решения различного вида задач, уравнения применяются в других различных науках. Применение уравнений можно найти в экономике, в физике, химии, биологии и других. При их помощи можно вычислить и описать процессы, происходящие вокруг нас.

Определение уравнения

Уравнение — это равенство двух математических выражений с использованием буквенных обозначений, среди которых есть известные и неизвестные. Например, простейшими примерами уравнений будут 8−x=3{\displaystyle 8-x=3} или y+a=6{\displaystyle y+a=6}, где x и у — неизвестные. Неизвестные (или их ещё можно назвать «переменными») в уравнениях обычно обозначаются латинскими буквами из конца алфавита x,y{\displaystyle x,y} и z{\displaystyle z}. При этом начальными символами латинского алфавита a,b,c{\displaystyle a,b,c} обычно обозначаются не переменные, а постоянные или константы (или параметры).

Решение уравнения — это нахождение неизвестного переменного (или неизвестных переменных). Решить уравнение означает найти все корни уравнения или доказать, что корней не существует. Требуется именно доказательство факта несуществования корней. Если не удаётся найти корень или решающий считает, что корней нет лишь только потому, что не удалось их найти или так кажется самому решающему, то данная ситуация не является доказательством.

Корнем уравнения является значение неизвестного, при подстановке которого вместо неизвестного в искомое уравнение выполняется равенство (тождественное). Каждое уравнение необязательно имеет один корень. Во-первых, часть уравнений не имеют корней вообще. Во-вторых, другие уравнения имеют более одного корня. Существуют и такие уравнения, которые имеют бесконечное количество корней.
Очевидно, что корнями уравнений, приведённых абзацем выше, будут x=5{\displaystyle x=5} в первом случае и y=6−a{\displaystyle y=6-a} во втором случае. Примером уравнения, не имеющего корня (среди действительных чисел), будет z2=−5{\displaystyle z^{2}=-5}. Действительно, любое число при возведении в квадрат будет неотрицательным и ни при каких обстоятельствах не получится −5. Примером уравнения с бесконечным числом корней будет z∗={\displaystyle z*0=0}. При умножении любого числа на ноль в ответе получается тот же самый ноль.

Также существует множество уравнений с двумя и более неизвестными. В таком случае под корнем уравнения понимается набор из значений каждой неизвестной, при подстановке которого в исходное уравнение получается тождественное равенство. Например, y2+z2=−1{\displaystyle y^{2}+z^{2}=-1} является отличным примером уравнения с двумя неизвестными y и z, при этом корней у данного уравнения не существует. Сумма двух неотрицательных чисел не может быть отрицательной.

А вот уравнение x+y+z=17{\displaystyle x+y+z=17} является примером уравнения с тремя неизвестными и, в отличие от предыдущего, данное уравнение имеет бесконечное количество корней. Это различные тройки чисел, дающие при сложении 17, например, {1;2;14}, {2; 3; 12} и т. д.

Первое свойство уравнений

Рассмотрим решение уравнения:

$11 \cdot (x-7)=33$;

$x-7=33:11$;

$x-7=3$;

$x=10$.

Уравнение $x-7=3$ может быть получено из уравнения $11 \cdot (x-7)=33$ после деления левой и правой части уравнения на $11$.

Число $10$ является корнем уравнения $11 \cdot (x-7)=33$ и $x-7=3$. Это легко проверить, подставив число $10$ в эти уравнения:

$11 \cdot (x-7)=33$;

$11 \cdot (10-7)=33$;

$11 \cdot 3=33$;

$33=33$.

$x-7=3$;

$10-7=3$;

$3=3$.

Первое свойство уравнений:

Замечание 1

При умножении или делении левой и правой части уравнения на одно и то же число, которое не равно нулю, корни данного уравнения не изменятся.

Равносильные уравнения

Два уравнения называются «равносильными», если они имеют равные корни или, выражаясь более строго, множество их корней совпадают. Например, если первое уравнение имеет корни 1 и 18, а другое уравнение имеет также два корня 1 и 18, то такие уравнения — равносильные. А вот если одно уравнение имеет корни 1 и 18, а второе уравнение имеет три корня 1, 18 и −1, то такие уравнения уже не являются равносильными.
Очевидно, что уравнения 1−x=7{\displaystyle 1-x=7} и x+8=2{\displaystyle x+8=2} являются равносильными, поскольку оба имеют единственный корень −6.
А вот уравнения x=3{\displaystyle {\sqrt {x}}=3} и x2=81{\displaystyle x^{2}=81} не являются равносильными хотя бы потому, что имеют разное число корней.

Решение уравнений с дробью

Для решения подобных заданий к нашему алгоритму придется добавить еще один шаг. Но для начала я напомню наш алгоритм:

1. Раскрыть скобки.
2. Уединить переменные.
3. Привести подобные.
4. Разделить на коэффициент.

Увы, этот прекрасный алгоритм при всей его эффективности оказывается не вполне уместным, когда перед нами дроби. А в том, что мы увидим ниже, у нас и слева, и справа в обоих уравнениях есть дробь.

Как работать в этом случае? Да всё очень просто! Для этого в алгоритм нужно добавить ещё один шаг, который можно совершить как перед первым действием, так и после него, а именно избавиться от дробей. Таким образом, алгоритм будет следующим:

1. Избавиться от дробей.
2. Раскрыть скобки.
3. Уединить переменные.
4. Привести подобные.
5. Разделить на коэффициент.

Что значит «избавиться от дробей»? И почему выполнять это можно как после, так и перед первым стандартным шагом? На самом деле в нашем случае все дроби являются числовыми по знаменателю, т.е. везде в знаменателе стоит просто число. Следовательно, если мы обе части уравнения домножим на это число, то мы избавимся от дробей.

Пример №1

\

Давайте избавимся от дробей в этом уравнении:

\

Обратите внимание: на «четыре» умножается все один раз, т.е. если у вас две скобки, это не значит, что каждую из них нужно умножать на «четыре»

Запишем:

\

Теперь раскроем:

Выполняем уединение переменной:

Выполняем приведение подобных слагаемых:

\

\

Мы получили окончательное решение, переходим ко второму уравнению.

Пример №2

\

Здесь выполняем все те же действия:

\

\

Задача решена.

Вот, собственно, и всё, что я хотел сегодня рассказать.

Понятие уравнения

Уравнение являются одним из основных понятий алгебры и всей математики. Сам термин «алгебра» возник от названия книги «Китаб аль-джебрваль-мукабала», написанной великим ученым аль-Хорезми в 830 году, в которой он рассматривал способы решения уравнений.

Уравнение – это разновидность равенства. При этом в нем должна находиться хотя бы одна переменная, но их количество может быть любым. Дадим определение понятия уравнения:

В качестве примера уравнений можно привести следующие равенства:

• x=5;
• a+b+c=9;
• dg+98=(j+f)·k;
• L²+V²= 25²;
• 5z+3z=100.

Во всех приведенных примерах вместо переменной можно подставлять действительные числа, однако в старших классах мы познакомимся и с более сложными уравнениями, где в качестве переменных величин выступают такие математические объекты, как функции и вектора.

Уравнения – это не просто абстрактные математические конструкции. Часто они появляются при описании окружающего мира на формальном языке математики. Пусть доходы семьи за месяц обозначаются буквой Д, а расходы – Р. Разница в доходах и расходах семьи идет на сбережения (С). Формально такую ситуацию можно описать уравнением:

Д – Р=С.

Что такое уравнение?

В общем случае, уравнением называется тождество с одной неизвестной.

Тождеством зовется равенство. То есть уравнение это два равных между собой выражения, одно из которых или оба содержат неизвестное. Важным является условие присутствия только одной неизвестной в одном уравнении.

Можно написать уравнение с двумя и большим количеством переменных, но такое выражение решить не получится. Запомните, даже в системах уравнений, количество переменных должно равняться количеству уравнений. Например, система:

х+3=2

у+х=3

Z+у=4 – имеет решение. А вот уравнение:

Х+у=12 – однозначных решений не имеет. Почему?

Х+3=5

Неизвестная имеет только одно решение. В уравнении х+у=12 – решений бесконечно много. Число х может быть любым, как только мы выберем и подставим любое число, изменится в соответствии с нашим выбором и у. Поэтому и говорят, что у такого уравнения нет определенных решений.

Практика

Задача 1

Решите уравнение:

\

Решение. Это линейное уравнение решается через элементарные преобразования:

\

Ответ: $x=-12$. Уравнение имеет один корень.

Задача 2

Решите уравнение:

\

Решение. Сначала раскроем скобки.

Это действие не является элементарным преобразованием уравнений. Оно вообще не относится к уравнениям — оно относился к выражениям с переменной (точнее, как мы позже узнаем, к многочленам):

\

Теперь собираем все слагаемые с переменной $x$ слева, а все числовые слагаемые — справа:

\

Ответ: все числа. Это уравнение имеет бесконечное множество корней.

Задача 3

Решите уравнение:

\

Решение. Вновь сначала раскроем все скобки и упростим полученное выражение:

\

Дальше остаётся лишь выполнить элементарные преобразования:

\

Ответ: $x=0$. Уравнение имеет единственный корень.

Важное замечание

Линейное уравнение вида $ax+b=0$ требует особого внимания при $a=0$. Потому что делить на ноль нельзя.

Однако если $a\ne 0$, но зато $b=0$, то ничего страшного и «нестандартного» не происходит. Получается уравнение $ax=0$, корнем которого является $x=0$.

1. Иррациональное уравнение: учимся решать методом уединения корня
2. Что такое дискриминант? И зачем он нужен для решения квадратных уравнений.
3. Тест на тему «Значащая часть числа»
4. Иррациональные неравенства. Часть 1
5. Процент: налоги и зарплата. Считаем с помощью коэффициентов
6. Более сложные задачи на производительность

Решение уравнений методом подбора корня

Необязательно преобразовывать ур-ние, чтобы найти его корни. Одним из приемов решения целых уравнений является метод подбора корня. Ведь если надо доказать, что какое-то число – это корень ур-ния, достаточно просто подставить это число в ур-ние и получить справедливое равенство!

Пример. Докажите, что корнями ур-ния

х3 – 2х2 – х + 2 = 0

являются только числа (– 1), 1 и 2.

Решение. Подставим в ур-ние каждую из предполагаемых корней и получим справедливое равенство. При х = – 1 имеем:

(– 1)3 – 2(– 1)2 – (– 1) + 2 = 0

–1 – 2 + 1 + 2 = 0

0 = 0

При х = 1 получаем:

13 – 2•12 – 1 + 2 = 0

1 – 2 – 1 + 2 = 0

0 = 0

Наконец, рассмотрим случай, когда х = 2

23 – 2•22 – 2 + 2 = 0

8 – 8 – 2 + 2 = 0

0 = 0

Исходное ур-ние имеет 3-ю степень, поэтому у него не более 3 корней. То есть других корней, кроме (– 1), 1 и 2 , у него нет.

Конечно, просто так подобрать корни довольно тяжело. Однако есть некоторые правила, которые помогают в этом. Для начала введем понятие коэффициентов уравнения.

Понятно, что ур-ние Р(х) = 0 в общем виде можно записать так:

аxn + a₁xn–1 + … + а_n–1х + а_n = 0

Числа а, а₁, а₂,…а_nи называют коэффициентами уравнений.

Например, для уравнения

5х4 – 7х3 + 9х2 – х + 12 = 0

коэффициенты равны

а = 5

а₁ = – 7

а₂ = 9

а₃ = – 1

а₄ = + 12

Если одна из слагаемых «пропущено» в уравнении, то считают, что коэффициент перед ним равен нулю. Например, в ур-нии

х3 + 2х – 15 = 0

нет слагаемого с буквенной частью х2. Можно считать, что ур-ние равносильно записи

х3 + 0х2 + 2х – 15 = 0

где слагаемое х2 есть, но перед ним стоит ноль. Тогда коэффициент а₁ = 0.

Для обозначения первого коэффициента а может использоваться термин старший коэффициент, а для последнего коэффициента а_n – термин «свободный член» или «свободный коэффициент».

Изучение коэффициентов ур-ния помогает быстрее подобрать корень. Существует следующая теорема:

Докажем это утверждение. Пусть m – это целый корень уравнения с целыми коэффициентами

аxn + a₁xn–1 + … + а_n–1х + а_n = 0

Тогда можно подставить туда число m и получить верное равенство:

аmn + a₁mn–1 + … + а_n–1m + а_n = 0

Поделим обе его части на m и получим

аmn–1 + a₁mn–2 + … + а_n–1 + а_n/m = 0

Справа – целое число (ноль), значит, и сумма чисел слева также целая. Все числа аmn–1, a₁mn–2, а_n–1, очевидно, целые (так как и целыми являются и m, и все коэффициенты). Значит, и число а_n/m должно быть целым. Но это возможно лишь в том случае, если m является делителем числа а_n.

Из доказанной теоремы следует, что при подборе корней ур-ния достаточно рассматривать только те из них, которые являются делителями свободного члена. При этом следует учитывать и отрицательные делители.

Пример. Найдите целые корни уравнения

2х4 – х3 – 9х2 + 4х + 4 = 0

Решение. Все коэффициенты ур-ния – целые, а потому целый корень должен быть делителем свободного члена, то есть числа 4. Делителями четверки являются 1 и (– 1), 2 и (– 2), 4 и (– 4). Подставляя каждое из этих чисел в ур-ние, получим верные равенства только для чисел 1, 2 и (– 2):

2•14 – 13 – 9•12 + 4•1 + 4 = 2 – 1 – 9 + 4 + 4 = 0

2•24 – 23 – 9•22 + 4•2 + 4 = 32 – 8 – 36 + 8 + 4 = 0

2•(– 2)4 – (– 2)3 – 9•(– 2)2 + 4(– 2) + 4 = 32 + 8 – 36 – 8 + 4 = 0

Таким образом, только эти числа и могут быть целыми корнями ур-ния. Так как мы рассматриваем ур-ние 4 степени, то, возможно, у него помимо 3 целых корней есть ещё один дробный.

Ответ: 1; 2; (– 2).

Пример. Решите ур-ние

0,5х3 + 0,5х + 5 = 0

Решение. У ур-ния дробные коэффициенты. Умножим обе части равенства на 2 и получим ур-ние с целыми коэффициентами:

0,5х3 + 0,5х + 5 = 0

(0,5х3 + 0,5х + 5)•2 = 0•2

х3 + х + 10 = 0

Попытаемся подобрать целый корень ур-ния. Он должен быть делителем свободного члена, то есть десятки. Возможными кандидатами являются числа 1 и (– 1), 2 и (– 2), 5 и (– 5), 10 и (– 10). Подходит только корень х = – 2:

(– 2)3 + (– 2) + 10 = – 8 – 2 + 10 = 0

Обратим внимание, что в левой части ур-ния стоит сумма функций, возрастающих на всей числовой прямой: у = х3 и у = х + 10. Значит, и вся левая часть х3 + х + 10 монотонно возрастает

Это значит, что у ур-ния есть только один корень, и мы его нашли ранее подбором.

Ответ: – 2

Ещё быстрее можно узнать, является ли единица корнем уравнения.

Докажем это. Подставим в ур-ние

аxn + a₁xn–1 + … + а_n–1х + а_n = 0

значение х = 1. Так как единица в любой степени равна самой единице, то получим:

а1n + a₁1n–1 + … + а_n–11 + а_n = 0

а + a₁ + … + а_n–1 + а_n = 0

Получили равенство, в котором слева стоит сумма коэффициентов, в справа – ноль. Если сумма коэффициентов действительно равна нулю, то равенство верное, а, значит, единица является корнем ур-ния.

Пример. Укажите хотя бы 1 корень ур-ния

499х10 – 9990х7 + 501х6 – 10х5 + 10000х4 – 1000 = 0

Решение. Заметим, что при сложении коэффициентов ур-ния получается 0:

499 – 9990 + 501 – 10 + 10000 – 1000 = (499 + 501 – 1000) + (10000 – 9990 – 10) = 0 + 0 = 0

Следовательно, единица является его корнем.

Ответ: 1.

Применение первого свойства уравнений

Пример 1

Вычислить корни уравнения

$\frac{9}{13} x-\frac{4}{26} x=7$.

Решение.

Умножим левую и правую часть уравнения на $26$. Тогда коэффициент перед $x$ станет целым:

$\frac{9}{13} x-\frac{4}{26} x=7 | \cdot 26$;

$\frac{9 \cdot 26}{13} x-\frac{4 \cdot 26}{26} x=7 \cdot 26$;

$18x-4x=182$;

$14x=182$;

$x=13$.

Ответ: $x=13$.

Статья: Решение уравнений

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Пример 2

Вычислить корни уравнения

$0,3x-0,4x=3,7$.

Решение.

Левую и правую часть уравнения умножим на $10$, после чего коэффициенты перед $x$ станут целыми:

$0,3x-0,4x=3,7 | \cdot 10$;

$0,3 \cdot 10 \cdot x-0,4 \cdot 10 \cdot x=3,7 \cdot 10$;

$3x-4x=37$;

$-x=37$.

Домножим левую и правую часть уравнения на $–1$:

$x=-37$.

Ответ: $x=-37$.

Пример 3

Вычислить корни уравнения

$(-3x-8) \cdot 15=60$.

Решение.

Левую и правую часть уравнения разделим на $15$:

$(-3x-8) \cdot 15=60 |∶15$;

$-3x-8=4$;

$-3x=12$;

$x=-4$.

Ответ: $x=-4$.

Пример 4

Вычислить корни уравнения

$1,8 \cdot (4-9x)=5,4$.

Решение.

Левую и правую часть уравнения разделим на $1,8$:

$1,8 \cdot (4-9x)=5,4 |∶1,8$;

$4-9x=3$;

$-9x=3-4$;

$-9x=-1 |∶(-9)$;

$x=\frac{1}{9}$.

Ответ: $x=\frac{1}{9}$.

Целые рациональные уравнения

Если в уравнении нет переменной \(x\) в знаменателе, то такое уравнение называется целым. Или, другими словами, нигде в уравнении нет деления на переменную.
Метод решения целых рациональных уравнений сильно зависит от того, какой степени перед вами уравнения.

Степень уравнения — это максимальная степень у переменной \(x\).

Например, уравнение \(x^2+5x-1=0\) будет второй степени, так как есть \(x^2\).
Пример уравнения первой степени: \(5x-1=17\);
Уравнение третьей степени: \(5x^3-3x^2=0\);
Уравнение четвертой степени: \(7x^4-5x^2+x-5=0\);
И т.д.

Основной алгоритм решения целых уравнений:

• Если есть скобки, раскрываем их;
• Перекидываем все слагаемые в левую часть так, чтобы в правой части остался только \(0\). Не забываем при этом менять знак этих слагаемых;
• Приводим подобные слагаемые;
• Если получилось уравнение первой степени (в уравнении есть только \(x\)), то решаем его так (линейные уравнения);
• Если получилось уравнение второй степени (в уравнении есть \(x^2\)), то оно решается вот так (квадратные уравнения).
• А вот если в преобразованном уравнении получились члены \(x^3\) или большей степени, то придется применять нестандартные методы решения. Например, замена переменной, группировка, схема Горнера и т.д.

Чаще всего уравнения после преобразований будут сводиться к уравнениям первой (линейные уравнения) и второй (квадратные уравнения) степени.

Разберем примеры целых рациональных уравнений:

Пример 1
$$-4(-7+6x)=-9x-5;$$
Первым делом раскрываем скобки:
$$28-24x=-9x-5;$$
Перекидываем все слагаемые из правой части в левую:
$$28-24x+9x+5=0;$$
Поменяем слагаемые местами, чтобы удобнее было приводить подобные слагаемые:
$$-24x+9x+5+28=0;$$
$$-15x+33=0;$$
Получили линейное уравнение. Чтобы его решить, перекидываем свободный член (тот, что без \(x\)) в правую часть:
$$-15x=-33;$$
И поделим уравнение слева и справа на \(-15\):
$$x=\frac{-33}{-15};$$
$$x=\frac{11}{5}=2,2;$$
Ответ: \(x=2,2.\)

Важно отметить, то, что уравнение линейное, стало видно сразу после раскрытия скобок: у нас же не было степени у \(x\)-ов. Поэтому разумно было сразу решать его как линейное: перенести все слагаемые с \(x\) в левую часть, а все числа в правую

Так бы получилось немного короче.

Пример 2
$$4*(x+1)^2-2(x+3)=(2x-5)^2;$$
Тут сразу и не скажешь, какой степени уравнение. На первый взгляд кажется, что квадратное, но давайте раскроем скобки, воспользовавшись формулами сокращенного умножения:
$$4*(x^2+2x+1)-2x-6=4x^2-20x+25;$$
$$4*x^2+8x+4-2x-6=4x^2-20x+25;$$
Перекинем все в левую часть, не забывая поменять знак:
$$4*x^2+8x+4-2x-6-4x^2+20x-25=0;$$
Поменяем местами слагаемые, чтобы было проще приводить подобные:
$$4x^2-4x^2+8x-2x+20x+4-6-25=0;$$
$$26x-27=0;$$
Как видите, все квадраты сократились, и уравнение превратилось в линейное:
$$26x=27;$$
$$x=\frac{27}{26};$$
Ответ: \(x=\frac{27}{26}.\)

Пример 3
$$\frac{x}{6}+\frac{x}{12}+x=-\frac{35}{4};$$
Домножим уравнение слева и справа на \(12\). Почему именно на \(12\)? Потому что в уравнении есть дроби с знаменателями \(6\), \(12\) и \(4\), на все эти числа \(12\) можно разделить:
$$12*(\frac{x}{6}+\frac{x}{12}+x)=12*(-\frac{35}{4});$$
$$12*\frac{x}{6}+12*\frac{x}{12}+12*x=12*(-\frac{35}{4});$$
$$2x+x+12x=-3*35;$$
$$15x=-105;$$
$$x=\frac{-105}{15}=-7;$$
Ответ: \(x=-7.\)

Подробнее про линейные уравнения можно почитать в отдельной статье.

Пример 4
$$(x-1)^2=2x^2-6x-31;$$
Раскроем скобки:
$$x^2-2x+1=2x^2-6x-31;$$
$$x^2-2x+1-2x^2+6x+31=0;$$
$$x^2-2x^2-2x+6x+1+31=0;$$
$$-x^2+4x+32=0;$$
После приведения подобных слагаемых в уравнении остался \(x^2\), а значит перед нами квадратное уравнение, которое можно решить через дискриминант:
$$a=-1; \quad b=4; \quad c=32;$$
$$D=b^2-4ac=4^2-4*(-1)*32=16+128=144=12^2;$$
$$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-4+12}{2*(-1)}=\frac{8}{-2}=-4;$$
$$x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-4-12}{2*(-1)}=\frac{-16}{-2}=8;$$
Ответ: \(x=-4; \qquad x=8.\)

Примеры применения способов на практике

Решение заданий с помощью теоремы Безу

Задача

Рассмотрим два многочлена:

\(Р(х) = x^3+3x^2-2x+2;\)

\(Q(x) = x-1;\)

Необходимо найти остаток от деления \(Р(х)\) на \(Q(x)\). Используем деление столбиком.

Получим \(q=4.\)

В нашем примере число \(α = 1.\)

\(P(α)\) означает, что в многочлен \(Р(x)\) вместо х нужно подставить \(α\).

Тогда многочлен примет вид:

\(P(x)= 1^3+3\cdot1^2-2\cdot1+2.\)

\(P(x)=4.\)

Решение заданий при помощи схемы Горнера

Решим уравнение:

\(x^3+4x^2-6x-3=0.\)

Сначала выписываем делители свободного члена:

\(d{-3}:\pm1; \pm3.\)

Коэффициенты: 1, -4, 6, -3. Их заносим в верхнюю строчку таблицы.

В первый столбец занесем потенциальные кандидаты в решения, например, -1 и 1.

В первый столбец запишем единицу. Она просто носится по строкам.

Чтобы записать ответ во второй строке третьего столбца, умножим единицу на минус единицу и прибавим минус 4:

\(-1*1+4=-5.\)

По этому принципу заполняем всю таблицу.

	1	-4	6	-3
-1	1	-5	11	-14
1	1	-3	3

В соответствии с таблицей, мы видим, что корень \(х=1\) подходит.

Далее находим корни в полученном квадратном уравнении \(x^2-3x+3=0.\)

Единственным корнем уравнения будет \(х=1.\)

Решение уравнений четвертой степени через разложение на множители и теорему Безу

Задача

Дано уравнение четвертой степени:

\(3x^4-3x^3+2x^2+x+1=0.\)

\(P4(х) = 0.\)

Первый корень находим подбором среди делителей свободного члена.

Делители числа 1 — 1; -1.

Возьмем первое значение х=1 и подставим в уравнение вместо х.

Получим:

\(3\cdot1^4-3\cdot1^3+2\cdot1^2+1+1=0.\)

Получилось верное равенство, а, значит, единица является корнем.

Значит многочлен \(P4(х)\) делится без остатка на \((х-1).\)

Разделим столбиком и получим кубическое уравнение:

\(3x^3-2x-1=0.\)

Тогда запишем многочлен в виде множителей:

\((х-1)(3x^3-2x-1=0)=0.\)

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Тогда \((х-1)=0\) или \((3 *(3x^3-2x-1=0)=0.\)

Чтобы решить уравнение третьей степени так же находим корень подбором среди делителей свободного члена.

Повторяем деление столбиком многочлена на (х-корень).

Получаем квадратное уравнение.

Разложим многочлен четвертого уровня на множители:

\((х-1)(х-1)(3x^2-3x+1=0)=0.\)

Получим:

\(\left(x-1\right)^2(3x^2-3x+1=0)=0.\)

\(\left(x-1\right)^2=0\) или \((3x^2-3x+1=0)=0.\)

Из \(\left(x-1\right)^2=0\) получим: \(х=1\). Это корень второй кратности.

У квадратного уравнения \(3x^2-3x+1=0=0\) нет корней.

Ответ: \(x_1=x_2=1.\)

Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари

Задача

Дано уравнение \(x^4+3x^3+3x^2-x-6=0.\)

Необходимо найти его корни.

Коэффициенты уравнения: \(a=3\), \(b=3\), \(c=-1\), \(d=-6.\)

Сначала составим кубическое уравнение:

\(y^3-By^2+(AC-4D)y-A^2D+4BD-C^2=0;\)

\(y^3-3y^2+21y-19=0.\)

Корень полученного кубического уравнения — \(y_0=1,\)

так как \(1^3-3\cdot1^2+21\cdot1-19=0.\)

Получим два квадратных уравнения и найдем их корни.

\(x^2+\frac A2x+\frac{y_0}2\pm\sqrt{\left(\frac{A^2}4-B+y_0\right)x^2+\left(\frac A2y_0-C\right)x+\frac{y_0^2}4-D}=0;\)

\(x^2+\frac32x+\frac12\pm\sqrt{\frac14x^2+\frac52x+\frac{25}4}=0;\)

\(x^2+\frac32x+\frac12+\frac12x+\frac52=0\) или \(x^2+\frac32x+\frac12-\frac12x-\frac52=0.\)

\(x^2+2x+3=0\) или \(x^2+x-2=0.\)

Корнями первого уравнения являются \(x=-1\pm i\sqrt2\), корнями второго — \(х = 1\) и \(х = -2.\)

Разложение квадратного трехчлена на множители

Квадратный трехчлен можно разложить на множители следующим образом:

a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 1 ) ⋅ ( x − x 2 )

где a – число, коэффициент перед старшим коэффициентом,

x – переменная (то есть буква),

x 1 и x 2 – числа, корни квадратного уравнения a x 2 + b x + c = 0 , которые найдены через дискриминант.

Если квадратное уравнение имеет только один корень , то разложение выглядит так:

a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 0 ) 2

Примеры разложения квадратного трехчлена на множители:

1. − x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = − 1, x 2 = 7

− x 2 + 6 x + 7 = ( − 1 ) ⋅ ( x − ( − 1 ) ) ( x − 7 ) = − ( x + 1 ) ( x − 7 ) = ( x + 1 ) ( 7 − x )

1. − x 2 + 4 x − 4 = 0 ; ⇒ x 0 = 2

− x 2 + 4 x − 4 = ( − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) 2 = − ( x − 2 ) 2

Если квадратный трехчлен является неполным, ( ( b = 0 или c = 0 ) то его можно разложить на множители следующими способами:

c = 0 ⇒ a x 2 + b x = x ( a x + b )

b = 0 ⇒ применить формулу сокращенного умножения для разности квадратов.

Видео:Решение уравнений — математика 6 классСкачать

Примеры решения уравнений

Сегодня мы занимаемся линейными уравнениями, причем только простейшими. Вообще, под линейным уравнением подразумевается всякое равенство, содержащее в себе ровно одну переменную, и она идет лишь в первой степени.

Решаются такие конструкции примерно одинаково:

1. Прежде всего необходимо раскрыть скобки, если они есть (как в нашем последнем примере);
2. Затем свести подобные
3. Наконец, уединить переменную, т.е. всё, что связано с переменной — слагаемые, в которых она содержится — перенести в одну сторону, а всё, что останется без неё, перенести в другую сторону.

Затем, как правило, нужно привести подобные с каждой стороны полученного равенства, а после этого останется лишь разделить на коэффициент при «иксе», и мы получим окончательный ответ.

В теории это выглядит красиво и просто, однако на практике даже опытные ученики старших классов могут допускать обидные ошибки в достаточно простых линейных уравнениях. Обычно ошибки допускаются либо при раскрытии скобок, либо при подсчёте «плюсов» и «минусов».

Кроме того, бывает так, что линейное уравнение вообще не имеет решений, или так, что решением является вся числовая прямая, т.е. любое число. Эти тонкости мы и разберем в сегодняшнем уроке. Но начнем мы, как вы уже поняли, с самых простых задач.

Что такое корень уравнения?

Как и в любое буквенное выражение, в уравнение можно подставлять различные значения переменных. В зависимости от них оно будет превращаться либо в верное равенство, либо в неверное. Подставим r=6 в уравнение

(r+2)·r=48

и получим запись

(6+2)·6=48.

Очевидно, что это равенство верное. Но если подставить значение r=1, то получится ошибочное равенство

(1+2)·1=48.

Число 6 будет называться корнем уравнения (r+2)·r=48, а число 1 им не является.

Дадим строгое определение понятию корня уравнения:

Слово набор используется для того, чтобы охватить определением уравнения с несколькими переменными. Так, переменных две, то следует указывать пару чисел, которые могут обернуть выражение в равенство. Так, для уравнения

M+W=10;

корнем является набор M=4; W=6. Однако по отдельности ни число 6, ни число 4 не является корнем уравнения.

Именно поиск корней уравнения и является целью при его решении:

Встает вопрос – а сколько корней может быть у уравнения? Их число может быть абсолютно разным. Возможно записать уравнение, имеющее любое наперед заданное количество корней. Покажем, как это сделать. Уравнение

y–1=0

имеет ровно один корень, равный единице. Теперь умножим его левую часть на выражение (y–2):

(y–2)·(y–1)=0.

Произведение нескольких чисел может равняться нулю только тогда, когда хотя бы одно из них равняется нулю. Поэтому корнями данного уравнения будут числа 1 и 2. Чтобы построить уравнение с 3 корнями, допишем слева ещё одно выражение в скобках:

(y–3)·(y–2)·(y–1)=0.

Теперь имеем три корня: 1, 2 и 3. Добавляя слева подобные выражения, можно получить уравнение с любым количеством корней. Например, ровно 7 корней будет иметь уравнение

(y–7)·(y–6)·(y–5)·(y–4)·(y–3)·(y–2)·(y–1)=0.

Есть ещё два особых случая. Первый из них – это уравнения с бесконечным количеством корней. Примером подобного равенства является z=z.Очевидно, что при любом значении z оно будет верным, поэтому у него бесчисленное множество корней.

Второй особый случай – это уравнения, вообще не имеющие ни единого корня.Доказать их существование можно, просто приведя пример:

y²= –5.

Действительно, если мы возведем в квадрат любое действительное число, мы получим неотрицательное число, поэтому приведенное уравнение не имеет решения.

Однако в данном случае стоит отметить, что количество корней может зависеть от того, какие числа допускается подставлять в записанное выражение. Дело в том, что математики в XVI веке придумали новое понятие – «мнимые числа». Их особенность заключается в том, что при умножении на себя они дают отрицательное число!Например, число «мнимая единица», которая обозначается символом i, при возведении в квадрат дает –1:

i² = –1.

Мнимые числа были специально введены в алгебру для того, чтобы из отрицательных чисел можно было извлекать квадратный корень. Однако со временем область их применения в математике сильно расширилась. Более того, мнимые числа даже используются на практике. Оказалось, что с их помощью удобно описывать процессы в электрических цепях и квантовые явления. Более подробно мнимые числа будут изучены в старших классах и институте. Пока же мы будем учитывать только действительные корни уравнений.

Иногда уравнение записывается так, что в него нельзя подставлять некоторые числа. Часто это связано с недопустимостью деления на ноль. Так, в уравнение

(9-d)/(p-5)=9dx

нельзя подставлять значение p=5. В таком случая говорят, что число 5 не входит в область определения уравнения.