Показательная ⭐ функция: как называется график, правила построения, примеры решения задач

Введение

Пропорциональные величины

Если переменные y и x прямо пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:

y = kx,

где k — постоянная величина (коэффициент пропорциональности).

График прямой пропорциональности – прямая линия, проходящая через начало координат и образующая

с осью X угол , тангенс которого равен k:

tg = k (рис.8).

Поэтому, коэффициент пропорциональности называется также угловым коэффициентом. На рис.8 показаны три графика для k = 1/3, k = 1 и k = -3.

Линейная функция

Если переменные y и x связаны уравнением 1-ой степени:

где по крайней мере одно из чисел A или B не равно нулю, то графиком этой функциональной зависимости является прямая линия. Если C = 0, то она проходит через начало координат, в противном случае — нет. Графики линейных функций для различных комбинаций A, B, C показаны на рис.9.

Обратная пропорциональность

Если переменные y и x обратно пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением: y = k / x, где k — постоянная величина. График обратной пропорциональности – гипербола (рис.10).

У этой кривой две ветви. Как показано на рис.10, произведение координат точек гиперболы есть величина постоянная, в нашем примере равная 1. В общем случае эта величина равна k, что следует из уравнения гиперболы: xy= k.

Основные характеристики и свойства гиперболы:

область определения функции: , область значений: ;
функция монотонная (убывающая) при x < 0 и при x > 0, но не монотонная в целом из-за точки разрыва x = 0 (подумайте, почему?);
функция неограниченная, разрывная в точке x = 0, нечётная, непериодическая;
нулей функция не имеет.

Квадратичная функция

Это функция:

где a, b, c — постоянные, .

В простейшем случае имеем:

График этой функции квадратная парабола — кривая, проходящая через начало координат (рис.11). Каждая парабола имеет ось симметрии OY, которая называется осью параболы. Точка O пересечения параболы с её осью называется вершиной параболы.

График функции

— тоже квадратная парабола того же вида, что и , но её вершина лежит не в начале координат, а в точке с координатами:

Форма и расположение квадратной параболы в системе координат полностью зависит от двух параметров: коэффициента a при x2 и дискриминанта D.

D = b2 – 4ac.

Эти свойства следуют из анализа корней квадратного уравнения.

Основные характеристики и свойства квадратной параболы:

— область определения функции: ( т.e. ), а область значений: …

(ответьте, пожалуйста, на этот вопрос сами!);

— функция в целом не монотонна, но справа или слева от вершины ведёт себя, как монотонная;

— функция неограниченная, всюду непрерывная, чётная при b = c = 0, и непериодическая;

— при D < 0 не имеет нулей. (А что при ?).

Решение показательных неравенств

Показательными называются неравенства, в которых неизвестная переменная содержится только в показателях каких-либо степеней.

Для решения показательных неравенств требуется знание следующей теоремы:

Теорема 2. Если a > 1, то неравенство af(x) > ag(x) равносильно неравенству того же смысла: f(x) > g(x). Если 0 < a < 1, то показательное неравенство af(x) > ag(x) равносильно неравенству противоположного смысла: f(x) < g(x).

Пример 7. Решите неравенство:

Решение: представим исходное неравенство в виде:

Разделим обе части этого неравенства на 32x, при этом (в силу положительности функции y = 32x) знак неравенства не изменится:

Воспользуемся подстановкой:

Тогда неравенство примет вид:

Итак, решением неравенства является промежуток:

переходя к обратной подстановке, получаем:

Левое неравенства в силу положительности показательной функции выполняется автоматически. Воспользовавшись известным свойством логарифма, переходим к эквивалентному неравенству:

Поскольку в основании степени стоит число, большее единицы, эквивалентным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству:

Итак, окончательно получаем ответ:

Пример 8. Решите неравенство:

Решение: используя свойства умножения и деления степеней, перепишем неравенство в виде:

Введем новую переменную:

С учетом этой подстановки неравенство принимает вид:

Умножим числитель и знаменатель дроби на 7, получаем следующее равносильное неравенство:

Итак, неравенству удовлетворяют следующие значения переменной t:

Тогда, переходя к обратной подстановке, получаем:

Поскольку основание степени здесь больше единицы, равносильным (по теореме 2) будет переход к неравенству:

Окончательно получаем ответ:

Пример 9. Решите неравенство:

Решение:

Делим обе части неравенства на выражение:

Оно всегда больше нуля (из-за положительности показательной функции), поэтому знак неравенства изменять не нужно. Получаем:

Воспользуемся заменой переменной:

Исходное уравнение тогда принимает вид:

Итак, неравенству удовлетворяют значения t, находящиеся в промежутке:

Переходя к обратной подстановке получаем, что исходное неравенство распадается на два случая:

Первое неравенство решений не имеет в силу положительности показательной функции. Решаем второе:

Поскольку основание степени в данном случае оказалось меньше единицы, но больше нуля, равносильным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству:

Итак, окончательный ответ:

Пример 10. Решите неравенство:

Решение:

Ветви параболы y = 2x+2-x2 направлены вниз, следовательно она ограничена сверху значением, которое она достигает в своей вершине:

Ветви параболы y = x2-2x+2, стоящей в показателе, направлены вверх, значит она ограничена снизу значением, которое она достигает в своей вершине:

Вместе с этим ограниченной снизу оказывается и функция y = 3×2-2x+2, стоящая в правой части уравнения. Она достигает своего наименьшего значения в той же точке, что и парабола, стоящая в показателе, и это значение равно 31 = 3. Итак, исходное неравенство может оказаться верным только в том случае, если функция слева и функция справа принимают в одной точке значение, равное 3 (пересечением областей значений этих функций является только это число). Это условие выполняется в единственной точке x = 1.

Ответ: x = 1.

Для того, чтобы научиться решать показательные уравнения и неравенства, необходимо постоянно тренироваться в их решении. В этом нелегком деле вам могут помочь различные методические пособия, задачники по элементарной математике, сборники конкурсных задач, занятия по математике в школе, а также индивидуальные занятия с профессиональным репетитором. Искренне желаю вам успехов в подготовке и блестящих результатов на экзамене.

Репетитор по математике в ТропарёвоСергей Валерьевич

Степенная, показательная и логарифмическая функции

Степенная функция

Это функция:

где a, n – постоянные.

При n = 1 получаем прямую пропорциональность: y = ax;

при n = 2 — квадратную параболу;

при n = -1 — обратную пропорциональность или гиперболу.

Таким образом, эти функции — частные случаи степенной функции. Мы знаем, что нулевая степень любого числа, отличного от нуля, равна 1, следовательно, при n = 0 степенная функция превращается в постоянную величину:

y = a, т.e. её график — прямая линия, параллельная оси Х, исключая начало координат. Все эти случаи (при a = 1) показаны на рис.13 () и рис.14 ().

Отрицательные значения x здесь не рассматриваются, так как тогда некоторые функции:

Если n – целые, степенные функции имеют смысл и при x < 0, но их графики имеют различный вид в зависимости от того, является ли n чётным числом или нечётным.

На рис.15 показаны две такие степенные функции: для n = 2 и n = 3.

При n = 2 функция чётная и её график симметричен относительно оси Y.

При n = 3 функция нечётная и её график симметричен относительно начала координат.

Функция y = x3 называется кубической параболой.

На рис.16 представлена функция

Эта функция является обратной к квадратной параболе y = x2, её график получается поворотом графика квадратной параболы вокруг биссектрисы 1-го координатного угла. Это способ получения графика любой обратной функции из графика её исходной функции.

Мы видим по графику, что это двузначная функция (об этом говорит и знак перед квадратным корнем).

Такие функции не изучаются в элементарной математике, поэтому в качестве функции мы рассматриваем обычно одну из её ветвей: верхнюю или нижнюю.

Показательная функция

Функция y = ax, где a — положительное постоянное число, называется показательной функцией.

Аргумент x принимает любые действительные значения;

в качестве значений функции рассматриваются только положительные числа, так как иначе мы имеем многозначную функцию.

Так, функция y = 81x имеет при x = 1/4 четыре различных значения:

y = 3, y = -3, y = 3 i и y = -3 i (проверьте, пожалуйста!). Но мы рассматриваем в качестве значения функции только y = 3.

Графики показательной функции для a = 2 и a = 1/2 представлены на рис.17. Они проходят через точку (0, 1). При a = 1 мы имеем график прямой линии, параллельной оси Х, т.e. функция превращается в постоянную величину, равную 1. При a > 1 показательная функция возрастает, a при 0 < a < 1 – убывает.

Основные характеристики и свойства показательной функции:

— область определения функции: ( т.e. );

— область значений: y > 0;

— функция монотонна: возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1;

— функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая;

— нулей функция не имеет.

Логарифмическая функция

Пусть а — положительное число, не равное 1.

Определение. Функцию, заданную формулой

называют логарифмической функцией с основанием а.

Перечислим основные свойства логарифмической функции:

Область определения логарифмической функции — множество всех положительных чисел R₊, т. е. D(log_a)=R₊. Действительно, каждое положительное число х имеет логарифм по основанию а.
Область значений логарифмической функции — множество всех действительных чисел. В самом деле, по определению логарифма любого действительного у справедливо равенство:

т. е. функция y = log_ax принимает значение у в точке x= aу0

Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при а>1) или убывает (при 0<а<1).

Докажем, например, что при а>1 функция возрастает (в случае 0 < а < 1 проводится аналогичное рассуждение).

Доказательство:

Пусть x₁ и x₂ — произвольные положительные числа и x₂>x₁. Надо доказать, что log_a x₂>log_a x₁. Допустим противное, т. е. что log_a x₂≤log_a x₁ (3)

Так как показательная функция у = ах при а>1 возрастает, из неравенства (3) следует: alog_a x₂≤ alog_a x₁. (4)

Но alog_a x₂= x₂, alog_a x₁= x₁ (по определению логарифма), т. е. неравенство (4) означает, что x₂ ≤ x₁. Это противоречит допущению x₂ > x₁.

Для построения графика заметим, что значение 0 логарифмическая функция принимает в точке 1;

log_a 1 = 0 при любом а > 0, так как а = 1.

Вследствие возрастания функции при а > 1 получаем, что при х > 1 логарифмическая функция принимает положительные значения, а при 0 отрицательные.

Если 0 < а <1, то y = log_ax убывает на R₊, поэтому log_a x > 0, при x > 1.

Опираясь на доказанные свойства, нетрудно построить график функции y = log_a х при а>1 (рис. 1, а) и 0<а<1 (рис. 1,6).

Справедливо следующее утверждение:

Графики показательной и логарифмической функций, имеющих одинаковое основание, симметричны относительно прямой у = х (рис. 2).

Свойства, правила построения графика

Поведение функции зависит от того, в каком интервале находится значение основания a.

В первом случае 0<a<1, показательная функция общего вида обладает следующими свойствами.

График функции имеет вид:

Область определения , где R — множество действительных чисел.
Так как в результате возведения любого числа в нулевую степень получается единица, показательная функция, заданная в общем виде, не может принимать нулевого значения.
Найдем область значений, для чего вычислим пределы функции по формуле: .Итак, область значений .
Из предыдущего свойства ясно, что прямая y=0 является горизонтальной асимптотой графика.Это свойство справедливо, если функция задается уравнением . В общем случае, если функция имеет вид , горизонтальной асимптотой будет прямая y=b.
Обратной функцией является логарифмическая: .
Функция монотонно убывает.

Перечислим свойства функции в случае, когда a>1.

График функции имеет вид:

Область определения , где R — множество действительных чисел.
Так как в результате возведения любого числа в нулевую степень получается единица, показательная функция, заданная в общем виде, не может принимать нулевого значения.
Найдем область значений:Область значений
Прямая y=0 является горизонтальной асимптотой графика.
Обратной функцией является логарифмическая: .
Функция монотонно возрастает.
При a=e, где e — число Эйлера (2,718), показательную функцию называют экспонентой. Обратной в этом случае будет функция натурального логарифма: .

При построении графика показательной функции руководствуются правилами и рекомендациями:

проводят анализ функции на определении горизонтальной асимптоты;
задают оси координат, точку начала отсчета и единичный отрезок;
задавая значения x, вычисляют y;
отмечают полученные координаты точек и строят график функции.

Архив записей

Архив записейВыберите месяц Ноябрь 2022 (1) Сентябрь 2022 (1) Январь 2022 (2) Сентябрь 2021 (1) Июль 2021 (1) Июнь 2021 (2) Май 2021 (1) Апрель 2021 (1) Март 2021 (1) Сентябрь 2020 (1) Август 2020 (2) Июль 2020 (2) Июнь 2020 (2) Декабрь 2019 (3) Ноябрь 2019 (4) Октябрь 2019 (3) Сентябрь 2019 (2) Май 2019 (1) Октябрь 2018 (1) Июнь 2018 (1) Апрель 2018 (1) Январь 2018 (1) Ноябрь 2017 (1) Октябрь 2017 (1) Сентябрь 2017 (2) Август 2017 (4) Июль 2017 (5) Июнь 2017 (4) Май 2017 (5) Апрель 2017 (2) Март 2017 (1) Февраль 2017 (1) Январь 2017 (3) Декабрь 2016 (1) Ноябрь 2016 (2) Октябрь 2016 (3) Сентябрь 2016 (4) Август 2016 (6) Июль 2016 (9) Июнь 2016 (4) Май 2016 (5) Апрель 2016 (6) Март 2016 (5) Февраль 2016 (8) Январь 2016 (8) Декабрь 2015 (9) Ноябрь 2015 (4) Июль 2015 (1) Март 2015 (1) Февраль 2015 (1) Январь 2015 (1) Июль 2014 (1) Июль 2013 (1) Март 2013 (2) Декабрь 2012 (1) Ноябрь 2012 (1) Сентябрь 2012 (3) Август 2012 (4) Июль 2012 (4) Июнь 2012 (4) Май 2012 (4) Апрель 2012 (5) Март 2012 (7) Февраль 2012 (8) Январь 2012 (7) Декабрь 2011 (5) Ноябрь 2011 (1)

Решение элементарных уравнений неравенств

При решении простых показательных уравнений и неравенств используют графический способ.

Основной алгоритм при этом сводится к нахождению точек пересечения графиков функций.

В случае уравнений точки пересечения будут корнями уравнения.

В случае неравенств сначала строят графики. Штрихуют области, ограниченные графиками и удовлетворяющие условию неравенства. Определяют, удовлетворяют ли сами графики имеющимся условиям. Заштрихованные области будут решением неравенства. Решение записывают в виде интервала или неравенства. При записи ответа необходимо учесть, входят ли в найденный интервал его границы.