Сравнение целых чисел

Дробно-рациональные неравенства

Если в неравенстве есть деление на выражения, зависящие от переменной $x$, то такое неравенство будет называться дробно-рациональным. Например:
$$\frac{1}{x}+3 \gt x;$$
$$x+\frac{20}{x+6} \lt 6;$$
$$\frac{x^2-3x-2}{x^2-3x+2}+\frac{x^2-3x+16}{x^2-3x} \ge 0;$$
Рассмотрим общий алгоритм решения таких неравенств, а потом подробно рассмотрим его применение на примерах.

Алгоритм метода интервалов для дробно-рациональных неравенств

Находим ОДЗ;
Переносим все слагаемые в левую часть неравенства так, чтобы в правой части остался нуль;
Преобразуем левую часть: приводим к общему знаменателю и приводим подобные слагаемые. Цель — превратить всё выражение слева в большую единую дробь. То есть нужно привести исходное неравенство к виду, где слева стоит дробь, а справа нуль:
$$\frac{f(x)}{g(x)} \ge 0; $$
знак неравенства, конечно, может быть любым;
По возможности, раскладываем на множители и числитель, и знаменатель дроби. Ни в коем случае не избавляемся от знаменателя;
Находим нули числителя и знаменателя дроби: такие значения $x$, при которых равны нулю и числитель, и знаменатель дроби. Другими словами, просто решаем два уравнения:
$$f(x)=0; \qquad g(x)=0;$$
Отмечаем найденные нули числителя и знаменателя на числовой прямой. При этом не забываем, что делить на нуль нельзя, а значит знаменатель дроби все-таки не может равняться нулю. Поэтому нули знаменателя (значения $x,$ при которых знаменатель равен нулю) отмечаем на числовой прямой обязательно выколотыми точками.
Нули числителя отмечаем закрашенными или выколотыми точками в зависимости от того, нестрогий или строгий знак неравенства соответственно.
Кратко: Если неравенство строгое, то все точки выколотые;Если неравенство нестрогое, то нули числителя закрашенные, а знаменателя — выколотые;
Расставляем знаки $«+»$ и $«-»$ над числовой прямой аналогично тому, как мы это делали для целых рациональных неравенств.
Отдельно определяем знак числителя и отдельно знаменателя на правом промежутке, исходя из этого находим знак всей дроби: если числитель и знаменатель дроби получаются одного знака, то вся дробь будет положительна, а если разного, то отрицательная.
Зная знак дроби на правом промежутке, можно воспользоваться продвинутым . Либо же можно определить знак на всех промежутках аналогично тому, как мы определили его на правом промежутке. (См. глава: расстановка знаков)
Выписываем ответ согласно расставленным знакам на числовой прямой и отмеченным точкам. Если знак неравенства $«\lt»$ или $«\le»,$ то нас устраивают промежутки с минусами, а если $«\gt»$ или $«\ge»,$ то с плюсами. Помните, что если точка закрашенная, она должна быть в ответе в квадратной скобке, если выколотая, то в круглой.

Подробно рассмотрим работу алгоритма на примерах:

Пример 12
$$\frac{2x+6}{-x-7} \ge 0;$$

Сравнение положительных и отрицательных чисел

Как выполнять сравнение положительных и отрицательных чисел с нолем мы уже знаем, а как же сравнивать числа со знаками «плюс» и «минус» между собой? Математика предусмотрела и этот вариант сравнения чисел. Существует правило сравнения положительных и отрицательных чисел.

При сравнении положительного и отрицательного числа, большим всегда будет положительное число.

Рассмотрим на примере.

Сравните числа -10 и 1.

Рассмотрев данное задание, сразу хочется сказать, что значение -10 однозначно больше, чем значение 1. Кажется, что все ясно и понятно, 10 больше 1. Но тут стоит отметить, что главную роль в сравнении значений такого вида, играет именно знак, стоящий перед числовым значением. Внимательно изучив числа, понимаем, что -10 является отрицательным числом, а 1 – число положительное, учитывая рассмотренное правило, делаем вывод, что -10 <1.

Запомни! При сравнении двух чисел с разными знаками, большим всегда будет числовое значение со знаком «плюс».

К примеру:

-26<2;

5>-124.

Как сравнивать дроби и десятичные числа

Сравнивать дроби и десятичные числа можно по их числовому значению. Для этого нужно выполнить приведение к общему знаменателю, чтобы получить дроби с одинаковым знаменателем. Затем можно сравнить числитель каждой дроби.

Если же дробь необходимо сравнить со своим десятичным эквивалентом, то нужно сравнивать цифры после запятой. Например, если даны дроби 3/4 и 0,75, то можно заметить, что 0,75 это то же самое, что и 75/100, т.е. 3/4. Следовательно, эти дроби равны.

При сравнении десятичных чисел, нужно обращать внимание на количество знаков после запятой и округление. Например, если даны числа 0,055 и 0,056, то первое число должно быть меньше второго, но если округлить оба числа до двух знаков после запятой, то они будут равны

Поэтому, при сравнении десятичных чисел, нужно следить за точностью и округление должно быть применено только в самом конце.

В случае, если числа находятся в разных форматах, то нужно привести их к одному формату перед сравнением. Например, чтобы сравнить дробь 3/4 и десятичное число 0,6, нужно привести дробь к десятичному виду и сравнить результат с 0,6.

Таким образом, сравнение дробей и десятичных чисел требует выполнения нескольких действий в зависимости от их формата, но основным правилом является сравнение числового значения.

План урока

1. Введение. 2. Теоретическая часть 3. Практическая часть. 4. Домашнее задание. 5. Вопросы

Введение

Давайте посмотрим видео
, как упорядочить отрицательные числа

А теперь упорядочите отрицательные числа и расшифруйте тему урока:

Ответ: слово “сравнение”.

Теоретическая часть

Сравнение чисел. Правила

При сравнении двух чисел, первое, на что надо обратить внимание, это знаки сравниваемых чисел. Число с минусом (отрицательное) всегда меньше положительного.. Если оба сравниваемых числа со знаками минус (отрицательные), то мы должны сравнить их модули, то есть, сравнить их не учитывая знаки минус

То число, модуль которого окажется больше, на самом деле меньше.

Если оба сравниваемых числа со знаками минус (отрицательные), то мы должны сравнить их модули, то есть, сравнить их не учитывая знаки минус. То число, модуль которого окажется больше, на самом деле меньше.

Например -3 и -5. Сравниваемые числа — отрицательные. Значит, сравним их модули 3 и 5. 5 больше чем 3, значит -5 меньше чем -3.

Если одно из сравниваемых чисел нуль, то отрицательное число будет меньше нуля.

(-3 А положительное — больше.

(3 > 0)

Сравнить числа можно и с помощью горизонтальной координатной прямой. Число расположенное левее, меньше числа расположенного правее.

Также действует обратное правило. Точка с большей координатой, на координатной прямой, находится правее, чем точка с меньшей координатой.

Например, на рисунке Точка E правее точки A и ее координата больше. (5 > 1)

Задания

1. Объясните почему:
-5 меньше -1, -2 больше -16, -25 меньше 3, 0 больше – 9.

2. Сравните:
на координатной прямой изображены числа: 0; а; в; с. Сравните:

1) а > 0; 2) в с. на координатной прямой изображены числа: 0; а; в; с. Сравните их:

1) а > в; 2) с

3. Какое из неравенств верно?
Числа а и в – отрицательные; | а | > | в |. а) а > в; б) а

4. Сравните модуль чисел а и в.
Числа а и в – отрицательные; а

5. Какое из неравенств верно?
а – положительное число, в – отрицательное число. а) а > в; б) а

6. Сравните:

1. Сравните числа

2. Вычислите

3. Расположите числа в порядке возрастания

Что показывает координата точки на прямой? Что такое модуль числа с геометрической точки зрения? Чему равен модуль положительного числа? Чему равен модуль отрицательного числа? Чему равен модуль нуля? Может ли модуль какого-нибудь числа быть отрицательным числом? Назовите число, противоположное числу 5? Какое число противоположно самому себе?

Числовые неравенства. Сравнение чисел

Ключевые слова: числовые неравенства, строгие и нестрогие, двoйные неравенства, верные и невeрные, сравнение чисел.

Числовые неравенства

При сравнении любых чисел c и d может выполняться только один из трех случаев:

c > d (c больше d)
c < d (c меньше d)
c = d (c равно d)

Выражения c > d и c < d называются неравенствами.

Определение 1. Неравенством называются два числа или алгебраических выражения, соединенных между собой знаком > (больше ) или < (меньше).

Например: 5 < 7; -8 > -10; 2(а — b) > 0

Определение 2. Строгими называются неравенства вида а > b; а < b. Нестрогими называются неравенства вида а ≥ b; а ≤ b.

а ≥ b читают так: а больше или равно b или а не меньше b.
а ≤ b читают так: а меньше или равно b или а не больше b.

Строгие (c > а и с < b) и нестрогие (с ≥ а и с ≤ b) неравенства могут быть записаны двойными неравенствами: а < с < b (строгое) или а ≤ с ≤ b (нестрогое). Их начинают читать со среднего члена слева на право, например: с больше а, но меньше b.

Например:
с ≥ 0 и с ≤ 3, то 0 ≤ с ≤ 3 — нестрогое неравенство
3 > 2 и 3 < 5, то 2 < 3 < 5 — строгое неравенство

Определение 3. Неравенства а > b и с > d или а < b и c < d называют неравенствами одинакового смысла. Неравенства а > b и с < d имеют противоположный смысл.

Например: 12 > 6 и 7 < 8 — неравенства разного (противоположного) смысла, а 15 < 16 и 10 < 11 — одного смысла.

Определение 4. Неравенства бывают верными (5 > 3) и неверными (6 > 10).

Например: а ≥ 6 при а = 6, 7, 8… неравенство верное; при а = 5, 4, 3… нeравенство неверное.

Выражение а ≠ b тоже называют нерaвенствoм.

Сравнение чисел

При сравнении чисел составляют их рaзнoсть и выясняют, ка кое число получается в ответе — положительное, отрицательное или нуль.

Определение 5. Число а называется большим числа b, если разнoсть чиceл а – b пoлoжительное число: а > b, если а – b > 0, и наоборот, еcли а – b > 0, тo а > b.

Например:
15 > 10, так как 15 – 10 = 5; 5 > 0
20 – 18 = 2, 2 > 0; следовательно, 20 > 18

Определение 6. Чиcло а мeньше числa b, если разность а – b отpицaтельное число: а < b, если а – b < 0, и наоборот, если а – b < 0, то а < b.

Если разность c – d = 0, то c = d.

Например:
7 < 12, так как 7 – 15 = –5, –5 < 0
9 – 10 = –1, –1 < 0, то 9 < 10
11 – 11 = 0, то 11 = 11

На числовой оси бOльшее число изображается точкoй, стоящей правее тoчки, изображающей меньшее число: а > b, значит, точка с кooрдинатой а лежит правее точки с кooрдинатой b, а если а < b, то левее.

Все отрицательные числа расположены левее нуля, а положительные — правее нуля (все положительные числа больше нуля и отрицательных чисел).

Вы смотрели конспект по математике «Числовые неравенства. Сравнение чисел». Если у Вас есть диплом ВУЗа или колледжа и Вы хотите преподавать математику в школе, то «Институт современных технологий, управления и бизнеса» приглашает Вас пройти обучение: Учитель математики дистанционная переподготовка.

Проверка: isFinite и isNaN

Помните эти специальные числовые значения?

(и ) — особенное численное значение, которое ведёт себя в точности как математическая бесконечность ∞.
представляет ошибку.

Эти числовые значения принадлежат типу , но они не являются «обычными» числами, поэтому есть функции для их проверки:

преобразует значение в число и проверяет является ли оно :

Нужна ли нам эта функция? Разве не можем ли мы просто сравнить ? К сожалению, нет. Значение уникально тем, что оно не является равным ничему другому, даже самому себе:
преобразует аргумент в число и возвращает , если оно является обычным числом, т.е. не :

Иногда используется для проверки, содержится ли в строке число:

Помните, что пустая строка интерпретируется как во всех числовых функциях, включая.

Методы Number.isNaN и Number.isFinite – это более «строгие» версии функций и . Они не преобразуют аргумент в число, а наоборот – первым делом проверяют, является ли аргумент числом (принадлежит ли он к типу ).

возвращает только в том случае, если аргумент принадлежит к типу и является . Во всех остальных случаях возвращает .
возвращает только в том случае, если аргумент принадлежит к типу и не является . Во всех остальных случаях возвращает .

Не стоит считать и более «корректными» версиями функций и . Это дополняющие друг-друга инструменты для разных задач.

Сравнение

Существует специальный метод Object.is, который сравнивает значения примерно как , но более надёжен в двух особых ситуациях:

Работает с : , здесь он хорош.
Значения и разные: , это редко используется, но технически эти значения разные.

Во всех других случаях идентичен .

Этот способ сравнения часто используется в спецификации JavaScript. Когда внутреннему алгоритму необходимо сравнить 2 значения на предмет точного совпадения, он использует (Определение ).

Знаки сравнения

В математике для простоты записи сравнения на бумаге используют знаки $<$ и $>$.

Например, если Образавр сделал $13$ самолетиков, а Вообразавр — $11$, получается, что Образавр сделал больше:

Рисунок 1

В неравенстве больше то число, которое стоит у раскрытой части знака $>$, а меньше — то, что у закрытой.

Как читаем $4 < 9$? Если вопрос: «Что меньше?», ответ: «Четыре меньше девяти».Если вопрос: «Что больше?», ответ: «Девять больше четырёх».

Интерактив

Изменяйте ползунками значения двух сравниваемых чисел, чтобы увидеть, как меняется знак сравнения между ними.

comparison

{"questions":,"items":}},"hints":}]}

{"questions":[{"instruction":"Выберите знак неравенства, обозначающий «меньше»:","content":"`img_choice-1`","widgets":{"img_choice-1":{"type":"img_choice","options":[["https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/menshe.svg"],["https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/bir.svg"],["https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/02/untitled-1.svg"]],"answer":}}}]}

ПРАВИЛА ОКРУГЛЕНИЯ

2.1. Округление числа представляет собой отбрасывание значащих цифр справа до определенного разряда с возможным изменением цифры этого разряда.

Пример. Округление числа 132,48 до четырех значащих цифр будет 132,5.

2.2. В случае, если первая из отбрасываемых цифр (считая слева направо) меньше 5, то последняя сохраняемая цифра не меняется.

Пример. Округление числа 12,23 до трех значащих цифр дает 12,2.

2.3. В случае, если первая из отбрасываемых цифр (считая слева направо) равна 5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Пример. Округление числа 0,145 до двух значащих цифр дает 0,15.

Примечание. В тех случаях, когда следует учитывать результаты предыдущих округлений, следует поступать следующим образом:

1) если отбрасываемая цифра получилась в результате предыдущего округления в большую сторону, то последняя сохраняемая цифра сохраняется;

Пример. Округление до одной значащей цифры числа 0,15 (полученного после округления числа 0,149) дает 0,1.

2) если отбрасываемая цифра получилась в результате предыдущего округления в меньшую сторону, то последняя оставшаяся цифра увеличивается на единицу (с переходом при необходимости в следующие разряды).

Пример. Округление числа 0,25 (полученного в результате предыдущего округления числа 0,252) дает 0,3.

2.4. В случае, если первая из отбрасываемых цифр (считая слева направо) больше 5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Пример. Округление числа 0,156 до двух значащих цифр дает 0,16.

2.5. Округление следует выполнять сразу до желаемого количества значащих цифр, а не по этапам.

Пример. Округление числа 565,46 до трех значащих цифр производится непосредственно на 565. Округление по этапам привело бы к:

565,46 в I этапе — к 565,5,

а во II этапе — 566 (ошибочно).

2.6. Целые числа округляют по тем же правилам, как и дробные.

Пример. Округление числа 12 456 до двух значащих цифр дает 12·10 3 .

1. Автор — делегация ВНР в Постоянной Комиссии по стандартизации.

3. Стандарт СЭВ утвержден на 41-м заседании ПКС.

4. Сроки начала применения стандарта СЭВ:

Страны — члены СЭВ

Срок начала применения стандарта СЭВ в договорно-правовых отношениях по экономическому и научно-техническому сотрудничеству

Срок начала применения стандарта СЭВ в народном хозяйстве

Источник

Правила сравнения чисел

Числа можно сравнивать двумя способами: с помощью натурального ряда и по их десятичной записи.

Правило сравнения с помощью натурального ряда:

Из двух натуральных чисел меньше то, которое в натуральном ряду встречается раньше (т. е. находится левее), и больше то, которое в натуральном ряду встречается позже (т. е. находится правее).

Следовательно, в натуральном ряде каждое число, кроме 1, больше предыдущего.

Пример. Сравним числа 1 и 3, 7 и 4. Запишем все однозначные натуральные числа в одной строке в следующем порядке:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Число 1 меньше числа 3 (1 < 3), так как в натуральном ряду число 1 находится левее числа 3. Число 7 больше числа 4 (7 > 4), так как в натуральном ряду число 7 находится правее числа 4.

Для применения правил сравнения чисел по их десятичной записи необходимо принять одну условность: будем считать, что число 0 меньше любого натурального числа, и что нуль равен нулю.

Правила сравнения натуральных чисел по их десятичной записи:

Если записи сравниваемых чисел состоят из одинакового количества цифр, то числа сравниваются поразрядно слева направо. Большим будет считаться то число, у которого первая (слева направо) из неодинаковых цифр больше.

Когда говорят, что цифры равны (или одна цифра больше другой), то имеют ввиду, что соответствующие им числа равны (или одно число больше другого).

Пример. Сравним натуральные числа 4026 и 4019. Для удобства сравнения можно записать их одно под другим:

40264019

Сначала сравниваем значения разряда тысяч. Получаем равенство 4 = 4, поэтому переходим к сравнению значений следующего разряда. Опять получаем равенство 0 = 0, переходим к сравнению значений разряда десятков. Теперь имеем неравенство 2 > 1, из которого делаем вывод, что число 4026 больше числа 4019 (4026 > 4019), потому что у первого числа, цифра разряда десятков (2) больше, чем цифра разряда десятков (1) у второго числа.

Если количество цифр в записи сравниваемых чисел разное, то большим будет считаться то число, у которого количество цифр больше.

Пример. Сравним натуральные числа 347 503 и 34 503. Для удобства сравнения можно записать их одно под другим:

347	503
34	503

Записав числа одно под другим, можно наглядно заметить, что первое число имеет большее количество цифр, чем второе, следовательно 347 503 > 34 503.

Два натуральных числа равны, если у них одинаковое количество цифр и цифры одинаковых разрядов равны.

Пример. Сравним числа 38 526 734 и 38 526 734. Для удобства сравнения можно записать их одно под другим:

38 526 73438 526 734

Записи данных чисел одинаковы (количество цифр и цифры одинаковых разрядов равны), следовательно эти числа равны.

Немного теории

Итак, поехали

Начнём с самого важного: что такое модуль? Напомню, что модуль числа — это просто то же самое число, но взятое без знака «минус». Т.е., например, $\left| -5 \right|=5$

Или $\left| -129,5 \right|=129,5$.

Вот так всё просто? Да, просто. А чему тогда равен модуль положительного числа? Тут ещё проще: модуль положительного числа равен самому этому числу: $\left| 5 \right|=5$; $\left| 129,5 \right|=129,5$ и т.д.

Ещё один важный факт: модуль никогда не бывает отрицательным. Какое бы число мы ни взяли — хоть положительное, хоть отрицательное — его модуль всегда оказывается положительным (или в крайнем случае нулём). Именно поэтому модуль часто называют абсолютной величиной числа.

Кроме того, если объединить определение модуля для положительного и отрицательного числа, то получим глобальное определение модуля для всех чисел. А именно: модуль числа равен самому этому числу, если число положительное (или ноль), либо равен противоположному числу, если число отрицательное. Можно записать это в виде формулы:

Ещё есть модуль нуля, но он всегда равен нулю. Кроме того, ноль — единственное число, которое не имеет противоположного.

Таким образом, если рассмотреть функцию $y=\left| x \right|$ и попробовать нарисовать её график, то получится вот такая «галка»:

График модуля и пример решения уравнения

Из этой картинки сразу видно, что $\left| -m \right|=\left| m \right|$, а график модуля никогда не опускается ниже оси абсцисс. Но это ещё не всё: красной линией отмечена прямая $y=a$, которая при положительных $a$ даёт нам сразу два корня: ${{x}_{1}}$ и ${{x}_{2}}$, но об этом мы поговорим позже.:)

Помимо чисто алгебраического определения, есть геометрическое. Допустим, есть две точки на числовой прямой: ${{x}_{1}}$ и ${{x}_{2}}$. В этом случае выражение $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|$ — это просто расстояние между указанными точками. Или, если угодно, длина отрезка, соединяющего эти точки:

Модуль — это расстояние между точками на числовой прямой

Из этого определения также следует, что модуль всегда неотрицателен. Но хватит определений и теории — перейдём к настоящим уравнениям.:)

Как работает метод интервалов

А теперь, после того, как мы полностью изучили метод интервалов, порешали примеры, давайте разберемся, а почему он все-таки работает? Алгоритм решения это хорошо, но понимание сути очень поможет вам решать нестандартные неравенства.

Чтобы воспользоваться методом интервалов, мы всегда приводим неравенство к виду (знак неравенства может быть любым):

Кратко, метод интервалов сводится к:

нахождению нулей левой части неравенства;
расстановке их на числовой прямой;
нахождению знаков на каждом промежутке.

Нулями функции мы называем значения $x$, при которых равны нулю либо числитель, либо знаменатель левой части неравенства. Чем же интересны эти точки и почему они так важны? Разобраться в этом на помогут графики функции.

Левая часть неравенства — это некоторая функция, график которой мы всегда можем построить $y=f(x)$. Для примера построим график произвольной функции $f(x):$

Сравнение отрицательных чисел с нулем

Теперь, давайте разберемся, как сравнить отрицательное число с нулем. Для начала вспомним, какие числа называют отрицательными.

Отрицательными числами называют числа, перед которыми стоит знак минус: -5,-3,-148.

Рассмотрим ситуацию.

Шестиклассники собрались в поход. Но, чтобы выбрать подходящий день, нужно посмотреть прогноз погоды, и запланировать поход на более теплый день недели. Учительница дала задание детям изучить прогнозируемую температуру и решить, в какой из дней (четверг или пятницу) температура воздуха будет выше (то есть больше). По прогнозу, в четверг, температура воздуха составит 0˚C,а в пятницу -2˚C. Подумайте и объясните, на какой день недели нужно запланировать поход, исходя из прогноза синоптиков.

Чтобы разобрать данную ситуацию, нужно определить, в какой из дней на улице будет теплее, следовательно, температура воздуха будет выше (больше). Для этого необходимо сравнить прогнозируемую температуру четверга и пятницы. По условию, в четверг 0˚C, а в пятницу-2˚C. Получается, что нам нужно сравнить отрицательное число и ноль. А как это правильно сделать? В математике существует правило, которое говорит:

Ноль всегда будет больше любого отрицательного числа.

Например: 0>-1,0>-25,0>-1981.

Исходя из рассмотренного правила, сравним предполагаемые показатели термометра в указанные дни:

0>-2 – ноль больше, чем минус два.

Теперь, мы можем сказать, что в четверг температура воздуха будет больше (выше), а значит, именно в этот день будет теплее.

Выполнять сравнение цифровых записей со знаком «минус» и ноля очень просто, главное помнить, что ноль всегда больше любого отрицательного числа!

Основные теоретические сведения

Базовые сведения о модуле

Определение модуля может быть дано следующим образом: Абсолютной величиной числа a (модулем) называется расстояние от точки, изображающей данное число a на координатной прямой, до начала координат. Из определения следует, что:

Таким образом, для того чтобы раскрыть модуль необходимо определить знак подмодульного выражения. Если оно положительно, то можно просто убирать знак модуля. Если же подмодульное выражение отрицательно, то его нужно умножить на «минус», и знак модуля, опять-таки, больше не писать.

Основные свойства модуля:

Некоторые методы решения уравнений с модулями

Существует несколько типов уравнений с модулем, для которых имеется предпочтительный способ решения. При этом данный способ не является единственным. Например, для уравнения вида:

Предпочтительным способом решения будет переход к совокупности:

А для уравнений вида:

Также можно переходить к почти аналогичной совокупности, но так как модуль принимает только положительные значения, то и правая часть уравнения должна быть положительной. Это условие нужно дописать в качестве общего ограничения для всего примера. Тогда получим систему:

Оба этих типа уравнений можно решать и другим способом: раскрывая соответствующим образом модуль на промежутках где подмодульное выражение имеет определённый знак. В этом случае будем получать совокупность двух систем. Приведем общий вид решений получающихся для обоих типов уравнений приведённых выше:

Для решения уравнений в которых содержится более чем один модуль применяется метод интервалов, который состоит в следующем:

Сначала находим точки на числовой оси, в которых обращается в ноль каждое из выражений, стоящих под модулем.
Далее делим всю числовую ось на интервалы между полученными точками и исследуем знак каждого из подмодульных выражений на каждом интервале. Заметьте, что для определения знака выражения надо подставить в него любое значение x из интервала, кроме граничных точек. Выбирайте те значения x, которые легко подставлять.
Далее на каждом полученном интервале раскрываем все модули в исходном уравнении в соответствии с их знаками на данном интервале и решаем полученное обычное уравнение. В итоговый ответ выписываем только те корни этого уравнения, которые попадают в исследуемый промежуток. Еще раз: такую процедуру проводим для каждого из полученных интервалов.

Сравнение чисел с помощью числовой оси

Сравнение чисел – это один из основных элементарных разделов математики, который включает в себя сравнение двух или более чисел по их значению. В математике используются различные методы сравнения чисел, например, с помощью числовой оси.

Числовая ось – это линия, где числа располагаются по порядку, начиная от нуля. Чтобы сравнить два числа с помощью числовой оси, нужно нарисовать линию, обозначив на ней ноль. Затем, нужно отметить на этой линии каждое из сравниваемых чисел. Если первое число находится правее второго числа на числовой оси, то первое число больше. А если наоборот, то второе число больше.

Для наглядности сравнения чисел на числовой оси, можно использовать стрелки, которые помогут указать направление сравнения. Например, стрелка, указывающая направо, может означать, что первое число больше второго, а стрелка, указывающая налево, – наоборот.

Таким образом, использование числовой оси помогает ученикам наглядно представить, как сравнивать числа и как определять их взаимное положение на числовом отрезке.

Пример 2: Сравнение трех и более чисел

Сравнение трех и более чисел может быть более сложным, чем сравнение двух чисел. Для этого необходимо воспользоваться основным правилом сравнения — больше, меньше или равно.

Например, сравним числа 8, 14, 2 и 10. Сначала сравним 8 и 14 — 14 больше 8. Затем сравним 14 и 2 — 14 больше 2. И, наконец, сравним 14 и 10 — 14 больше 10. Таким образом, мы получаем следующую последовательность по убыванию: 14, 10, 8, 2.

Если числа повторяются, то в сравнении участвует только одно из них, так как они равны.

В случае, если требуется выявить, сколько чисел находятся между двумя числами, можно воспользоваться таблицей сравнения, где на вертикальной и горизонтальной оси указываются числа, а на пересечении указывается знак сравнения.