Сложение десятичных дробей
Десятичные дроби принято складывать «столбиком». При этом одноименные разряды записывают друг под другом, не смещая их. Запятые также должны быть друг под другом. Порядок действий:
- При необходимости нужно уравнять количество знаков, которые следуют после запятой, путем добавления нулей к необходимой дроби.
- Запись дробей в такой форме, чтобы запятые располагались друг под другом.
- Сложение дробей без учета запятой.
- Постановка запятой в сумме под запятыми дробей, которые складывали.
Предположим, что имеются десятичные дроби, сумму которых нужно найти:
0,678 и 13,7.
Сделаем равным количество знаков после запятой, которые содержатся в этих десятичных дробях. Для этого припишем 2 нуля с правой стороны к дроби 13,7:
0,678 + 13,700
Запишем сумму в столбик:
Таким образом:
0,678 + 13,7 = 14,378
Что делать, если у дроби есть целая часть
Могу вас обрадовать: разные знаменатели у дробей — это еще не самое большое зло. Гораздо больше ошибок возникает тогда, когда в дробях-слагаемых выделена целая часть.
Безусловно, для таких дробей существуют собственные алгоритмы сложения и вычитания, но они довольно сложны и требуют долгого изучения. Лучше используйте простую схему, приведенную ниже:
- Перевести все дроби, содержащие целую часть, в неправильные. Получим нормальные слагаемые (пусть даже с разными знаменателями), которые считаются по правилам, рассмотренным выше;
- Собственно, вычислить сумму или разность полученных дробей. В результате мы практически найдем ответ;
- Если это все, что требовалось в задаче, выполняем обратное преобразование, т.е. избавляемся от неправильной дроби, выделяя в ней целую часть.
Правила перехода к неправильным дробям и выделения целой части подробно описаны в уроке «Что такое числовая дробь». Если не помните — обязательно повторите. Примеры:
Здесь все просто. Знаменатели внутри каждого выражения равны, поэтому остается перевести все дроби в неправильные и сосчитать. Имеем:
Чтобы упростить выкладки, я пропустил некоторые очевидные шаги в последних примерах.
Небольшое замечание к двум последним примерам, где вычитаются дроби с выделенной целой частью. Минус перед второй дробью означает, что вычитается именно вся дробь, а не только ее целая часть.
Перечитайте это предложение еще раз, взгляните на примеры — и задумайтесь. Именно здесь начинающие допускают огромное количество ошибок. Такие задачи обожают давать на контрольных работах. Вы также неоднократно встретитесь с ними в тестах к этому уроку, которые будут опубликованы в ближайшее время.
Что делать, если знаменатели разные
Напрямую складывать дроби с разными знаменателями нельзя. По крайней мере, мне такой способ неизвестен. Однако исходные дроби всегда можно переписать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми.
Существует много способов преобразования дробей. Три из них рассмотрены в уроке «Приведение дробей к общему знаменателю», поэтому здесь мы не будем на них останавливаться. Лучше посмотрим на примеры:
В первом случае приведем дроби к общему знаменателю методом «крест-накрест». Во втором будем искать НОК. Заметим, что 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Последние множители в этих разложениях равны, а первые взаимно просты. Следовательно, НОК(6; 9) = 2 · 3 · 3 = 18.
Сложение смешанных дробей
В смешанной дроби есть две части:
- целая, в виде натурального числа;
- дробная, которая представляет собой правильную дробь.
Перед тем как приступить к алгебраическим действиям с дробями, важно ознакомиться с правилами сложения, которые проходят в средних классах школы. Переместительное свойство сложения: если переставить слагаемые местами, то сумма в результате не поменяется: a+b=b+a
Данное правило не работает при вычитании
Переместительное свойство сложения: если переставить слагаемые местами, то сумма в результате не поменяется: a+b=b+a. Данное правило не работает при вычитании.
Сочетательное свойство сложения: для сложения суммы пары чисел с третьим числом можно суммировать первое число с суммой второго и третьего чисел: (a+b)+c=a+(b+c).
При решении обычных задач можно встретиться с упоминанием порядка расположения слагаемых и выполняемых действий. Если речь идет о порядке убывания, то элементы следуют от большего к меньшему. Порядок возрастания подразумевает запись элементов от меньшего к большему.
В процессе сложения смешанных дробей, которые не являются отрицательными, следует прибегнуть к закону сложения. Рассмотреть действие можно на примере простого задания:
Каждую из смешанных дробей необходимо записать в виде суммы целой и дробной частей. Согласно переместительному свойству сложения, если переставить слагаемые местами, то сумма не изменится. Воспользуемся им в данном случае.
Перегруппировка слагаемых заключается в записи сначала суммы из целых частей, а далее суммы дробных частей. Затем необходимо сложить по отдельности целые и дробные части, которые принадлежат обеим дробям. Если убрать знак плюс между натуральным числом и правильной дробью, то результат сложения будет преобразован в смешанную дробь:
Рассмотрим ситуацию, когда сумма дробных частей при сложении пары смешанных дробей является неправильной дробью.
Как видно из примера, при сложении дробных частей получилась неправильная дробь Путем преобразования из неправильной дроби можно получить смешанную дробь. В результате получим, что — это 1 и . Таким образом, сумма рассматриваемых смешанных чисел равна 4 целым и .
При сложении смешанных дробей с дробными частями, которые имеют неодинаковые знаменатели, в первую очередь требуется привести дробные части к единому знаменателю. Далее можно приступить к работе по их сложению.
Общий знаменатель этих дробных частей соответствует 15. В сумме получается 7 целых и . В данном случае отсутствуют промежуточные расчеты сумм целых и дробных частей. Нет необходимости их записывать, так как достаточно понимания рационального принципа решения.
В качестве примера можно рассмотреть сумму двух различных смешанных дробей:
В данном выражении оба слагаемых имеют и целую, и дробную части. При этом дробные части обладают разными знаменателями. Нужно отдельно сложить целые и дробные части без подробной записи. В итоге при сложении дробных частей получилась неправильная дробь. После преобразования неправильной дроби в смешанную получается . Результатом сложения является смешанная дробь
Сложение трех и большего количества обыкновенных дробей
Нередко в задачах по математике приходится складывать три, четыре и большее число обыкновенных дробей
При этом важно уметь пользоваться переместительным и сочетательным свойствами сложения. В результате сложение нескольких дробей выполняется аналогично сложению нескольких натуральных чисел
В качестве примера можно рассмотреть сложение четырех обыкновенных дробей:
Последовательно следует заменить две соседние дроби на их сумму. В результате получим:
Далее можно сократить дробь, которая получилась, и выделить целую часть:
Аналогично складываются несколько натуральных чисел и несколько обыкновенных дробей. К примеру, требуется определить сумму:
Используя свойство сложения, можно сгруппировать слагаемые:
Найдем суммы выражений из скобок:
Заметим, что правило, по которому складывают дроби, обладающие одинаковыми знаменателями, и правило сложения дробей, имеющих разные знаменатели, распространяются также на три и большее число складываемых дробей. Данное утверждение можно рассмотреть на примере:
Используя правило сложения дробей в процессе прибавления элементов выражения, у которых знаменатели одинаковые, получим:
После сокращения полученной дроби и выделения целой части можно записать ответ:
Найдем сумму трех дробей с разными знаменателями:
На первом этапе следует привести три дроби к минимальному единому знаменателю:
В результате получим:
Основные правила, операции без преобразования
Сложение (вычитание) дробей — это упрощение выражений вида \(\frac ab\pm\frac cb\) или \(\frac ab\pm\frac cd\), где \(c\neq d.\)
Главное правило сложения и вычитания дробей заключается в том, что операции можно проводить только между дробями с одинаковым знаменателем.
Если знаменатели двух дробей одинаковы, то можно сразу сложить или вычесть, в зависимости от задачи, числители этих дробей, а знаменатель оставить прежним. Если это возможно, дробь нужно сократить.
Общее правило сложения и вычитания дробей с одинаковым знаменателем выглядит следующим образом:
\(\frac ab\pm\frac cb=\frac{a\pm c}b,\)
где a, b и с — натуральные числа, \(b\neq0.\)
Пример
\(\frac16+\frac46=\frac56;\)
\(\frac78-\frac38=\frac48=\frac12.\)
Если знаменатели разные, дроби необходимо заменить на эквивалентные с одинаковым знаменателем. Выполнить операцию необходимо уже с этими новыми дробями. Распространяется это как на положительные, так и на отрицательные дроби.