Коэффициенты
Коэффициент А
сравнивает значений
Соотношение показывает, сколько одного предмета по сравнению с другим.
Есть 3 синих квадрата на 1 желтый квадрат
Соотношения могут отображаться по-разному:
| Используйте «:» для разделения значений: | 3 : 1 | |
| Или мы можем использовать слово «кому»: | от 3 до 1 | |
| Или напишите как дробь: | 3 1 |
Коэффициент можно увеличить:
Здесь также соотношение 3 синих квадрата к 1 желтому квадрату, , хотя квадратов больше.
Попробуйте сами
изображений/ratio-slider.js
Использование соотношений
Хитрость с отношениями заключается в том, чтобы всегда умножать или делить числа на одно и то же значение .
Таким образом, отношение муки к молоку равно 3 : 2
Чтобы приготовить блины для МНОГО людей, нам может понадобиться в 4 раза больше, поэтому мы умножаем числа на 4:
3 × 4 : 2 × 4 = 12 : 8
Другими словами, 12 стаканов муки и 8 стаканов молока .
Соотношение остается прежним, поэтому блины должны быть такими же вкусными.
Соотношения «часть к части» и «часть к целому»
До сих пор примеры были «частичными» (сравнение одной части с другой частью).
Но отношение может также показать часть по сравнению с целой партией .
3 2
Часть к целому:
Соотношение мальчиков и всех щенков равно 2:5 или соотношение девушек к все щенков 3:5 или 3 / 5
Попробуйте сами
изображений/ratio.js
Масштабирование
Мы можем использовать пропорции для увеличения или уменьшения чертежа (посредством умножения или деления).
|
Отношение высоты индийского флага к ширине составляет 2:3 Таким образом, на каждые 2 (дюймов, метров и т. д.) высоты должно приходиться 3 ширины. |
|
|
Если мы сделали флаг высотой 20 дюймов, то он должен быть 30 дюймов в ширину. Если мы сделали флаг высотой 40 см, то ширина должна быть 60 см. (которое по-прежнему находится в соотношении 2:3) |
умножьте все размеры на 1/10
Эта лошадь в реальной жизни имеет высоту 1500 мм и длину 2000 мм, поэтому отношение ее высота к длине равна
1500 : 2000
Каково это соотношение, когда мы рисуем его в 1/10 нормального размера?
| 1500 : 2000 | = 1500 × 1/10 : 2000 × 1/10 | |
| = 150 : 200 |
Таким образом мы можем сделать любое уменьшение/увеличение, которое захотим.
Большая Нога?
Элли измерила свою ногу, и она оказалась 21 см в длину, а затем она измерила ногу своей матери, и она оказалась 24 см в длину. |
«Должно быть, у меня большие ступни, моя ступня почти такая же длинная, как у моей мамы!»
Но потом она решила измерить рост и обнаружила, что ее рост 133 см, а рост ее мамы 152 см.
В таблице это:
| Элли | Мама | |
| Длина стопы: | 21см | 24см |
| Высота: | 133см | 152см |
Соотношение длины ноги к росту в виде дроби:
| Элли: | 21 133 | Мама: | 24 152 |
Мы можем упростить эти дроби следующим образом:
| Элли: | 21/7 133/7 | Мама: | 24/8 152/8 |
И мы получаем это (пожалуйста, проверьте правильность вычислений):
| Элли: | 3 19 | Мама: | 3 19 |
Соотношение ложки — стаканы
Так как обычно в российских рецептах авторы используют классические для нас граненые стаканы, то именно на них и разберем это соотношение. Если учитывать, что и ложки бывают разные, то возьмем за объем ложки среднее значение 15 мл
Напомним, что объем граненого стакана в среднем 200 мл, если не принимать во внимание новые дизайны и различные вариации. Принимая эти цифры за постоянную величину и проведя нехитрые вычисления, получаем в одном граненом стакане 13 полных чайных ложек без горки
Соответственно 1/2 стакана это 7,5 ложек, 1/3 стакана, это 4 ложки с небольшой горочкой, а 1/4 стакана это сколько ложек? Это 3 ложки с небольшой горкой.
Если вы собираетесь готовить что-то небольшое, где где вес ингредиентов измеряется граммами, например, это могут быть специи, и очень важно правильное соотношение, то при отсутствии весов можно использовать чайные ложки. Так в столовой ложке полностью умещаются по объему три чайные ложки
Это означает, что в 1/2 столовой ложки умещается объем 1,5 чайных ложек, а 1/3 столовой ложки — одна чайная ложка. Каждая, стандартная по объему, столовая ложка содержит три чайные ложки. Это делает ее легким «орудием» отмера небольшого количества ингредиентов как для поваров и пекарей, так и для любителей поварского дела.
Таким образом, чтобы определить удельный объем чайной ложки, необходимо взять 1/3 от объема столовой ложки. Таким образом в одной чайной ложке, помещается объем равный 5 мл. А 1/4 стакана это сколько ложек? 1/2 стакана это 20 чайных ложек, 1/3 стакана это 13 чайных ложек, а 1/4 стакана это 10 чайных ложек.
Масштаб
Масштабом называют отношение длины отрезка на изображении к длине соответствующего отрезка на местности.
Допустим, что расстояние от дома до школы составляет 8 км. Попробуем нарисовать план местности, где будут указаны дом, школа и расстояние между ними. Но изобразить на бумаге расстояние, равное 8 км мы не можем, поскольку оно довольно велико. Но зато мы можем уменьшить это расстояние в несколько раз так, чтобы оно уместилось на бумаге.
Пусть километры на местности на нашем плане будут выражаться в сантиметрах. Переведем 8 километров в сантиметры, получим 800 000 сантиметров.
Уменьшим 800 000 см в сто тысяч раз:
800 000 см : 100 000 см = 8 см
8 см это расстояние от дома до школы, уменьшенное в сто тысяч раз. Теперь без труда можно нарисовать на бумаге дом и школу, расстояние между которыми будет 8 см.
Эти 8 см относятся к реальным 800 000 см. Так и запишем с помощью отношения:
8 : 800 000
Одно из свойств отношения гласит, что отношение не меняется если его члены умножить или разделить на одно и то же число.
В целях упрощения отношения 8 : 800 000 оба его члена можно разделить на 8. Тогда получим отношение 1 : 100 000. Это отношение и назовём масштабом. Данное отношение показывает, что один сантиметр на плане относится (или соответствует) ста тысячам сантиметров на местности.
Поэтому на нашем рисунке необходимо указать, что план составлен в масштабе 1 : 100 000
Примеры:
1 см на плане относится к 100 000 см на местности;
2 см на плане относится к 200000 см на местности;
3 см на плане относится к 300000 на местности и т.д.
К любой карте или плану указывается в каком масштабе они сделаны. Этот масштаб позволяет определять реальное расстояние между объектами.
Так, наш план составлен в масштабе 1 : 100 000. На этом плане расстояние между домом и школой составляет 8 см. Чтобы вычислить реальное расстояние между домом и школой, нужно 8 см увеличить в 100 000 раз. Иными словами, умножить 8 см на 100 000
8 см × 100 000 = 800 000 см
Получаем 800 000 см или 8 км, если перевести сантиметры в километры.
Допустим, что между домом и школой располагается дерево. На плане расстояние между школой и этим деревом составляет 4 см.
Тогда реальное расстояние между домом и деревом будет 4 см × 100 000 = 400 000 см или 4 км.
Расстояние на местности можно определять с помощью пропорции. В нашем примере расстояние между домом и школой будет вычисляться с помощью следующей пропорции:
Эту пропорцию можно прочитать так:
1 см на плане так относится к 100000 см на местности, как 8 см на плане относятся к x см на местности.
Из этой пропорции узнаём, что значение x равно 800000 см.
Пример 2. На карте расстояние между двумя городами составляет 8,5 см. Определить реальное расстояние между городами, если карта составлена в масштабе 1 : 1 000 000.
Решение
Масштаб 1 : 1 000 000 указывает, что 1 см на карте соответствует 1 000 000 см на местности. Тогда 8,5 см будут соответствовать x см на местности. Составим пропорцию 1 к 1000000 как 8,5 к x
В 1 км содержится 100000 см. Тогда в 8 500 000 см будет
Либо можно рассуждать так. Расстояние на карте и расстояние на местности — прямо пропорциональные величины. При увеличении расстояния на карте в несколько раз, расстояние на местности увеличится во столько же раз. Тогда пропорция примет следующий вид. Первое отношение будет показывать во сколько раз расстояние на местности больше расстояния на карте:
Второе отношение покажет, что расстояние на местности во столько же раз больше, чем 8,5 см на карте:
Отсюда x равен 8 500 000 см или 85 км.
Задача 3. Длина реки Невы 74 км. Чему равняется ее длина на карте, масштаб которой 1 : 2 000 000
Решение
Масштаб 1 : 2000000 говорит о том, что 1 см на карте соответствует 2 000 000 см на местности.
А 74 км на это 74 × 100 000 = 7 400 000 см на местности. Уменьшив 7 400 000 в 2 000 000, мы определим длину реки Невы на карте
7 400 000 : 2 000 000 = 3,7 см
Значит на карте, масштаб которой 1 : 2 000 000 длина реки Невы составляет 3,7 см.
Запишем решение с помощью пропорции. Первое отношение будет показывать сколько раз длина на карте меньше длины на местности:
Второе отношение будет показывать, что 74 км (7 400 000 см) уменьшились во столько же раз:
Отсюда находим x равный 3,7 см
Разная плотность — разный вес
Таким же образом, с помощью стаканов, можно измерять вес сыпучих продуктов и жидкостей, если у вас нет весов. Однако с весом не все так однозначно, как с объемом. Если объем для всех продуктов в одном стакане будет идентичен, то вес, из-за разницы в плотности, будет отличаться.
Таким образом стакан, половина стакана и 1/4 стакана сколько это грамм продукта?
Начнем с жидкостей. Воды до краев стакана вмещается 200 грамм. Именно вода считается эталоном соотношения объема и веса — 1:1. Точно такой же вес будут иметь стакан молока, майонеза и уксуса — 200 гр в 200 мл. Более плотной будет сметана, его в стакане будет 210 гр. Томатная паста — 250 гр, мед — 265 гр, варенье — в среднем 275 гр а сгущенное молоко — целых 360 гр. Однако если брать полный стакан растительного масла, то его выйдет меньше, чем воды — 190 гр. Такой же вес будет у целого стакана топленого сливочного масла.
Несколько членов отношения
Если в отношении дано несколько членов, то их можно понимать как части от чего-либо.
Пример 1
. Куплено 18 яблок. Эти яблоки разделили между мамой, папой и дочкой в отношении 2: 1: 3
. Сколько яблок получил каждый?
Отношение 2: 1: 3
говорит о том, что мама получила 2 части, папа — 1 часть, дочка — 3 части. Другими словами, каждый член отношения 2: 1: 3
это определенная часть от 18 яблок:
Если сложить члены отношения 2: 1: 3
, то можно узнать сколько всего частей имеется:
2 + 1 + 3 = 6 (частей)
Узнаем сколько яблок приходится на одну часть. Для этого 18 яблок разделим на 6
18: 6 = 3 (яблока на одну часть)
Теперь определим сколько яблок получил каждый. Умножая три яблока на каждый член отношения 2: 1: 3
, можно определить сколько яблок получила мама, сколько получил папа и сколько получила дочка.
Узнаем сколько яблок получила мама:
3 × 2 = 6 (яблок)
Узнаем сколько яблок получил папа:
3 × 1 = 3 (яблока)
Узнаем сколько яблок получила дочка:
3 × 3 = 9 (яблок)
Пример 2
. Новое серебро (альпака) — это сплав никеля, цинка и меди в отношении 3: 4: 13
. Сколько килограммов каждого металла нужно взять, чтобы получить 4 кг нового серебра?
4 килограмма нового серебра будет содержать 3 части никеля, 4 части цинка и 13 частей меди. Сначала узнаем сколько всего частей будет в четырех килограммах серебра:
3 + 4 + 13 = 20 (частей)
Определим сколько килограммов будет приходиться на одну часть:
4 кг: 20 = 0,2 кг
Определим сколько килограммов никеля будет содержáться в 4 кг нового серебра. В отношении 3: 4: 13
указано, что три части сплава содержат никель. Поэтому умножаем 0,2 на 3:
0,2 кг × 3 = 0,6 кг никеля
Теперь определим сколько килограммов цинка будет содержáться в 4 кг нового серебра. В отношении 3: 4: 13
указано, что четыре части сплава содержат цинк. Поэтому умножаем 0,2 на 4:
0,2 кг × 4 = 0,8 кг цинка
Теперь определим сколько килограммов меди будет содержáться в 4 кг нового серебра. В отношении 3: 4: 13
указано, что тринадцать частей сплава содержат медь. Поэтому умножаем 0,2 на 13:
0,2 кг × 13 = 2,6 кг меди
Значит, чтобы получить 4 кг нового серебра, нужно взять 0,6 кг никеля, 0,8 кг цинка и 2,6 кг меди.
Пример 3
. Латунь — это сплав меди и цинка, массы которых относятся как 3: 2
. Для изготовления куска латуни требуется 120 г меди. Сколько требуется цинка для изготовления этого куска латуни?
Определим сколько граммов сплава приходится на одну часть. В условии сказано, что для изготовления куска латуни требуется 120 г меди. Также сказано, что три части сплава содержат медь. Если разделить 120 на 3, мы узнаем сколько граммов сплава приходится на одну часть:
120: 3 = 40 граммов на одну часть
Теперь определим сколько требуется цинка для изготовления куска латуни. Для этого 40 граммов умножим на 2, поскольку в отношении 3: 2
указано, что две части содержат цинк:
40 г × 2 = 80 граммов цинка
Пример 4
. Взяли два сплава золота и серебра. В одном количество этих металлов находится в отношении 1: 9, а в другом 2: 3. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 15 кг нового сплава, в котором золото и серебро относилось бы как 1: 4?
Решение
15 кг нового сплава должны состоять в отношении 1: 4. Это отношение говорит о том, что на одну часть сплава будет приходиться золото, а на четыре части будет приходиться серебро. Всего же частей пять. Схематически это можно представить следующим образом
Определим массу одной части. Для этого сначала сложим все части (1 и 4), затем массу сплава разделим на количество этих частей
1 + 4 = 5
15 кг: 5 = 3 кг
Одна часть сплава будет иметь массу 3 кг. Тогда в 15 кг нового сплава будет содержáться 3 × 1 = 3 кг золота и серебра 3 × 4 = 12 кг серебра.
Поэтому для получения сплава массой 15 кг нам нужно 3 кг золота и 12 кг серебра.
Теперь ответим на вопрос задачи — «Сколько нужно взять каждого сплава?
»
Первого сплава мы возьмем 10 кг, поскольку золото и серебро в нём находятся в отношении 1: 9. То есть этот первый сплав даст нам 1 кг золота и 9 кг серебра.
Второго сплава мы возьмем 5 кг, поскольку золото и серебро находятся в нём в отношении 2: 3. То есть этот второй сплав даст нам 2 кг золота и 3 кг серебра.
Понравился урок? Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Как посчитать пропорцию
Задача:
нужно пить 1 таблетку активированного угля на 10 килограмм веса. Сколько таблеток нужно выпить, если человек весит 70 кг?
Составим пропорцию:
1 таблетка — 10 кг
x
таблеток — 70 кг
Чтобы найти икс, нужно перемножить два известных числа крест-накрест и поделить на противоположное значение:
1 таблетка
x
таблеток
✕
10 кг
70 кг
x
= 1 ⋅
70 10 = 7
Ответ:
7 таблеток
Задача:
за пять часов Вася пишет две статьи. Сколько статей он напишет за 20 часов?
Составим пропорцию:
2 статьи — 5 часов
x
статей — 20 часов
x
= 2 ⋅
20 5 = 8
Ответ:
8 статей
Будущим выпускникам школ могу сказать, что умение составлять пропорции мне пригодилось и , и для того, чтобы пропорционально уменьшать картинки, и в HTML-вёрстке интернет-страницы, и в бытовых ситуациях.
Соотношение (в математике) — это взаимосвязь между двумя или более числами одного рода. Соотношения сравнивают абсолютные величины или части целого. Соотношения вычисляются и записываются по-разному, но основные принципы одинаковы для всех соотношений.
Как объяснить ребенку пропорции?
Пропорции для детей
Пропорции — это соотношения, которые показывают, что две дроби равны, даже если их знаменатели (числа внизу) различаются.
Предположим, у нас есть два набора файлов cookie: в одном 10, а в другом 50. Если мы берем половину (1/2) из каждого набора, мы получаем 5 файлов cookie в обоих случаях.
- 1/2 × 10 шариков = 5 шариков
- 1/2 × 50 шариков = 5 шариков
Хотя количество файлов cookie разное, дроби (1/2) одинаковы. Это показывает нам, что две дроби пропорциональны.
Понимание пропорций помогает нам решать различные проблемы, например:
- Увеличение или уменьшение рецептов
- Определение сходства фигур
- Расчет скоростей и расстояний
Делаем замес
Прежде чем заправить пистолет, следует смешать составляющие приобретенной краски.
Для правильного смешивания компонентов, при котором получается окрасочный материал требуемой вязкости, необходимо выполнить следующие условия.
Посуда
Важно, чтобы тара, в которой мы проводим смешивание, была строго цилиндрической формы (плоское дно и вертикальные стенки). Только в такой таре можно равномерно перемешивать компоненты и правильно отмерять их количество
Лучше, если это будет специальная мерная посуда в виде прозрачной пластиковой банки с крышкой. На такие банки нанесена разметка, позволяющая смешивать материалы в необходимом объемном соотношении (1:1, 2:1, 3:1, 4:1, 5:1 и т.д.).
Мерная емкость для приготовления ЛКМ
Также для дозирования и перемешивания ЛКМ удобно пользоваться специальной линейкой с метками, определяющей объемные доли компонентов.
Наливаем основу в цилиндрическую посуду до определенного деления, а после до нужной отметки доливаем отвердитель (если добавляется), затем растворитель. Все той же линейкой перемешали — и готово. Нередко мерная линейка продается вместе с комплектом краски, а на всех фирменных банках указаны пропорции согласно этим линейкам.
Необходимое количество компонентов удобно отмерять с помощью мерной линейки. Затем той же линейкой поболтал — и готово
Пропорции
При том изобилии, которое воцарилось на лакокрасочном рынке, дать, как говорится, один рецепт на все случаи жизни невозможно по определению. Да и не нужно этого делать. Есть TDS — остальное сами знаете от кого.
Тем не менее, обозначить некоторые общие ориентиры было бы полезно. В принципе, мы уже говорили о них немного выше: в двухкомпонентные продукты обычно добавляется до 50% отвердителя и 10-20% разбавителя. Степень разбавления базовых эмалей колеблется, как правило, в пределах 50-80%. Ну а точные пропорции смотрите уже в инструкции к конкретному продукту: все баночные лаки и эмали имеют указания в виде пиктограмм, которые информируют, в какой пропорции нужно развести краску с отвердителем (если материал двухкомпонентный) и разбавителем.
Если же вы заказываете краску на подборе в лаборатории, то вам выдадут комплект компонентов (обычно заказывают комплектом), смешав которые вы получите готовый к применению материал с рабочей вязкостью — как говорится, «под распылитель». Либо выдадут уже разведенную краску (разумеется, это касается только базы, поскольку время жизни двухкомпонентных материалов после смешивания строго ограничено).
Добавки
Описание рецептов приготовления лакокрасочных коктейлей было бы неполным без упоминания о добавках — материалах, применяющихся для изменения отдельно взятых характеристик эмалей, лаков или грунтов.
Например, для создания шероховатой поверхности — очень часто так окрашиваются пластиковые бамперы внедорожников — существуют структурные добавки разной степени зернистости. И вообще, чтобы краска на пластике не трескалась, в нее обязательно добавляется 20-40% пластификатора. Есть матирующие эластификаторы, разработанные для снижения степени блеска и окраски пластиковых деталей типа боковых накладок автомобилей Mercedes-Benz.
При покраске эффектными двухслойными покрытиями эти добавки нужно подмешивать к покровному лаку (пластификатор рекомендуется добавлять еще и в грунт-наполнитель). Подробнее о добавках и их применении читайте здесь.
Свойство отношения
Отношение не изменится если его члены умножить или разделить на одно и тоже число.
Это одно из важнейших свойств отношения следует из свойства частного. Мы знаем, что если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, то частное не изменится. А поскольку отношение является ничем иным как делением, то свойство частного работает и для него.
Вернемся к отношению девочек к мальчикам (10: 5)
. Данное отношение показало, что на каждого мальчика приходится две девочки. Проверим, как работает свойство отношения, а именно попробуем умножить или разделить его члены на одно и то же число.
В нашем примере удобнее разделить члены отношения на их наибольший общий делитель (НОД).
НОД членов 10 и 5 это число 5. Поэтому можно разделить члены отношения на число 5
Получили новое отношение . Это есть отношение два к одному (2:1). Данное отношение, как и прошлое отношение 10:5
показывает, что на одного мальчика приходятся две девочки.
На рисунке показано отношение 2: 1
(два к одному). Как и в прошлом отношении 10: 5
на одного мальчика приходятся две девочки. Другими словами, отношение не изменилось.
Пример 2
. В одном классе 10 девочек и 5 мальчиков. В другом классе 20 девочек и 10 мальчиков. Во сколько раз в первом классе девочек больше мальчиков? Во сколько раз во втором классе девочек больше мальчиков?
В обоих классах девочек в два раза больше мальчиков, поскольку отношения и равны одному и тому же числу.
Свойство отношения позволяет строить различные модели, которые имеют схожие параметры с реальным объектом. Предположим, что многоквартирный дом имеет ширину 30 метров и высоту 10 метров.
Чтобы нарисовать на бумаге похожий дом, нужно рисовать его в таком же отношении 30: 10
.
Разделим оба члена этого отношения на число 10. Тогда получим отношение 3: 1
. Это отношение равно 3, как и предыдущее отношение равно 3
Переведем метры в сантиметры. 3 метра это 300 сантиметров, а 1 метр это 100 сантиметров
3 м = 300 см
1 м = 100 см
Имеем отношение 300 см: 100 см. Разделим члены этого отношения на 100. Получим отношение 3 см: 1 см. Теперь можно нарисовать дом с шириной 3 см и высотой 1 см
Конечно нарисованный дом намного меньше реального дома, но неизменным осталось отношение ширины и высоты. Это позволило нам нарисовать дом, максимально похожий на реальный
Отношение можно понимать и другим образом. Изначально было сказано, что у реального дома ширина составляет 30 метров, а высота 10 метров. Итого получается 30+10, то есть 40 метров.
Эти 40 метров можно понимать, как 40 частей. Отношение 30: 10 говорит о том, что 30 частей приходится на ширину, а 10 частей на высоту.
Далее члены отношения 30: 10 были разделены на 10. В результате получилось отношение 3: 1. Это отношение можно понимать, как 4 части, три из которых приходится на ширину, одна — на высоту. В этом случае обычно требуется узнать сколько конкретно метров приходится на ширину и высоту.
Другими словами, нужно узнать сколько метров приходится на 3 части и сколько метров приходится на 1 часть. Сначала надо узнать сколько метров приходится на одну часть. Для этого общие 40 метров нужно разделить на 4, поскольку в отношении 3: 1 всего четыре части
Определим сколько метров приходится на ширину:
10 м × 3 = 30 м
Определим сколько метров приходится на высоту:
10 м × 1 = 10 м